1.3. Некоторые другие задачи на распределение

ло вызовов по группе больных B j составляет b j . Число врачей категории Ai равно ki . Так как каждый врач в день может обслужить N больных, то все врачи категории Ai в день могут обслужить ai больных, где ai = Nki . Считается, что общее число вызовов точно равно общему числу выездов, т. е. a1 +a2 = b1 +b2 +b3. Пусть xij – число больных из группы B j , которых обслуживает врач из категории Ai . Пусть также качество обслуживания cij

больного из B j врачом из Ai определяется матрицей cij . Нужно рассчитать

оптимальное (наилучшее с точки зрения получения наибольшего суммарного качества обслуживания) распределение врачей по группам больных, т. е. оп-

тимальные значения элементов матрицы xij .

В. Распределение лекарственных препаратов по различным группам больных. Для лечения трех групп больных B1, B2, B3 применяются два медикаментозных препарата A1 и A2 . Так как общее число доз этих препаратов равно общему числу больных, то каждому больному может быть выдана только одна доза какого-то из этих двух лекарств. Число больных в группе B j равно bj . Число доз препарата Ai равно ai . Эффективность лечения боль-

ного типа B j препаратом Ai равна cij . Пусть xij – число больных группы B j , получающих препарат Ai . Нужно распределить дозы препарата по больным так, чтобы суммарная эффективность лечения была максимальной, т. е. найти оптимальные значения элементов матрицы xij .

Г. Распределение операторов по рабочим местам. Операторов готовят для управления сложными объектами трех видов, B1, B2, B3 . По результатам психофизиологического тестирования все операторы были разделены на две группы, A1 и A2 . Число объектов вида B j составляет b j . Число операторов в

группе Ai равно ai . Общее число объектов управления равно общему числу операторов. Известно, что эффективность работы оператора из группы Ai при управлении объектом B j определяется как элемент cij матрицы сij . Пусть xij – число объектов вида B j , на которые предполагается направить операторов из группы Ai . Нужно распределить всех операторов по объектам

16

так, чтобы суммарная эффективность их работы была максимальной, т. е. найти оптимальные значения элементов матрицы xij .

Данная задача ЛП, изложенная в трех различных постановках, решается аналогично той, которая дана в примере 1.1. В случае, если a1 = 60, a2 = 40,

b1 = 30, b2 = 20, b3 = 50,

полученное также геометрическим способом.

1.4. Разработка комплексной лекарственной терапии

Пусть при лечении некоторого больного его комплексный диагноз состоит из заболеваний D1, D2, , Dm , проявляющихся одновременно. Для ле-

ния заболевания D j равна сij (эта величина не обязана быть положитель-

ной). Кроме полезного (в целом) эффекта, каждый препарат обладает некоторой токсичностью. Токсичность единицы препарата Ai равна qi . Так как, принимая все n препаратов в количествах x1, x2, , xn соответственно, мы

рассчитываем на получение положительного лечебного эффекта для всех m заболеваний, то эффективность применения всех препаратов для заболевания D j не должна быть меньше некоторой положительной величины bj . Это

условие дает систему m неравенств

Условия ограничения токсичности всех принимаемых лекарств имеют вид

n

∑qi xi ≤Q ,

i=1

17

где Q – некоторая постоянная величина. Задача формулируется как максимизация суммарного эффекта воздействия принимаемых n препаратов на все m заболеваний, равного

m n

Lс=x∑ ∑ ij i , j=1i=1

при сформулированных ранее ограничениях.

Данная задача приводится к основной задаче ЛП заменой ограниченийнеравенств ограничениями-равенствами и введением (n +1) добавочных не-

отрицательных переменных. Сходная по содержательной постановке задача рассмотрена также в [10]. Вместо лекарственных препаратов в данной задаче можно рассматривать другие лечебные воздействия, физиотерапию, бальнеотерапию, физические нагрузки и т. д., суммарная доза которых также должна быть ограничена.

1.5. Выработка оптимального плана массового лечения

Данная задача взята из [11]. Пусть в результате массовой эпидемии имеется большой контингент больных в количествеN человек, нуждающихся в медицинской помощи. Эти больные находятся в различных состояниях B1, B2, , Bm , соответствующих различной степени тяжести заболевания (рис.1.3). Число

тельное

18

где qij = c j Aij . Так как xij – относительные величины, то по группам больных B1, B2, , Bm должны выполняться равенства

Таким образом, математически задача формулируется так: найти mr неотрицательных переменных xij , которые максимизируют L (1.19) при огра-

ничениях (1.20) и (1.21).

Пример 1.2. Пусть имеется 100 больных, находящихся в трех состояниях, B1, B2, B3 . Число больных каждого вида равно 60, 30 и 10 соответственно. Имеется три плана лечения, P1, P2, P3 , которые предполагают использовать три вида медикаментов. Запасы медикаментов в условных единицах составляют: M1 =1500, M2 =800, M3 =1900. Эффективность имеющихся планов лечения задается матрицей А (табл. 1.2), а требуемые количества лекарств – матрицей γ (табл. 1.3). Нулевые элементы матрицы А, соответствующие прочеркам в матрице γ, связаны с отсутствием планирования применения данных планов лечения к соответствующим группам больных, поскольку неэффективность такого применения очевидна.

20

Используя исходные данные, вычислим

Целевая функция (1.19) равна

L = 0,48x11 +0,1x13 +0,24x22 +0,6x31 +0,3x32 .

Ограничения (1.20) и (1.21) для данного примера имеют вид

будут базисными. Выразим базисные переменные через свободные:

Из условия неотрицательности базисных переменных получаем x31 ≤1; x32 ≤ −4x31 + 4,33;

21

x32 ≤1; x32 ≥ 0,3 −8x31; x32 ≤ 0,66 .

Графически эти условия изображены на рис. 1.4.

Функция цели, выраженная через свободные переменные, равна

L = 0,82 +0,12x31 +0,06x32 ;

L′= L −0,82 = 0,12x31 +0,06x32 ,

и основная прямая L' = 0 имеет вид x32 = −2x31.

L' = max

ОДР

L' = 0

x32 = –8x31 + 0,5

Рис. 1.4

Следовательно, при выбранной оптимальной схеме лечения относительное число выздоровевших больных максимально и составляет 97 %.

22