дет иметь вид табл. 3.20. Можно легко убедиться, что данная матрица не имеет седловой точки. Воспользуемся для решения геометрической интерпретацией игры. Для этого выполним необходимые построения. Они представлены на рис. 3.4, откуда видно, что в точке решения N пересекаются

только две прямые, соответствующие стратегиям S1 и S3* , поэтому для точки N игру можно представить в вице игры 2 ×2 с матрицей M f в виде

табл. 3.21.

Пользуясь формулой (3.6), получаем решение в виде смешанной стратегии хирурга

Таким образом, F (A1 )F (A2 )= 0,4 , и хирургу надо почти в два раза чаще отказываться от операции, чем оперировать больного.

3.5. Минимизация риска хирургического вмешательства в онкологии

Злокачественная опухоль – это неуклонно прогрессирующее заболевание с безусловно плохим прогнозом. Будем рассматривать только те из них, при которых нет конкурирующих методов лечения, а рекомендуемое хирургическое вмешательство сопряжено с непосредственным хирургическим риском. Последний может выражаться в виде послеоперационной летальности q , которая в случае онкологических заболеваний зависит от локализации

86

опухоли и характера заболевания и нередко достигает 20…40 % [8]. В этом случае клиническая операбельность – величина, равная вероятности выживания больного в случае успешного выполнения радикального вмешательства при резектабельной опухоли, равна 1−q . Она оценивает возможность больного перенести в данном лечебном учреждении показанную ему тяжелую радикальную операцию по поводу рака, выжить и быть выписанным.

Рассматривая тактику хирурга при неосложненных опухолях, будем решать вопрос о том, предлагать или не предлагать больному радикальную операцию при имеющемся риске, полагая, что она целесообразна по онкологическим соображениям и может быть выполнена технически. При этом в качестве цели радикальной операции при раке рассмотрим максимизацию продолжительности жизни онкологического больного.

В этом случае мы имеем два состояния больного («природы»): S1 – больной операбелен, S2 – больной неоперабелен; вероятность состояния S2 равна q , а вероятность состояния S1 – (1−q). В распоряжении хирурга две стратегии: A1 – предложить больному радикальную операцию и A2 – отказаться от вмешательства. Выигрыш хирурга aij обозначим следующим обра-

зом: D – математическое ожидание продолжительности жизни данного больного при отказе от радикальной операции, G – в случае успешного исхода радикальной операции и O – при летальном ее исходе. Очевидно, что G > D . Эти величины могут быть найдены приближенно на основании статистических данных для каждого учреждения либо получены экспертным пу-

87

раем A2 . При равенстве a1 = a2 или q =1− DG можно применять обе тактики.

Таким образом, при величине операционного риска q <1− DG будет оптимальным предложить больному оперативное вмешательство, при q >1− DG оптимальным решением является отказ от радикальной операции. При q =1− DG оптимально любое решение, и показания к операции или отказ от нее могут быть продиктованы чисто клиническими соображениями.

Можно легко убедиться, что при известном q , используя матрицу M f вместо Ma , мы придем к тому же алгоритму принятия решения. Относительно эквивалентности матриц Ma и Mr в этом же смысле мы уже упоминали.

Пример 3.6. Определить стратегию хирурга, если ожидаемая средняя продолжительность жизни больного в случае успешной радикальной операции равна 18 месяцам. Без операции он может прожить в среднем 12 месяцев. Вероятность летального исхода радикальной операции для данного больного равна 0,4.

По условию задачи, согласно принятым ранее обозначениям q = 0,4, G =18, D =12. Так как 1− DG =1−1218 = 0,33, то q >1− DG , и оптимальной стратегией хирурга будет отказ от операции (стратегия A2 ).

Пример 3.7. Решить задачу, сформулированную в предыдущем примере, при условии: q = 0,6, Gгода= 3, 1годD = .

Так как 1− DG =1−13 = 0,66 и q <1− DG , то оптимальной стратегией хирурга будет проведение операции (стратегия A1).

Рассмотрим теперь случай, когда величина операционного риска q врачу неизвестна. В матрице Ma имеется седловая точка α =β = a22 = D (в табл. 3.22 она обведена), и поэтому оптимальной стратегией хирурга, согласно критерию Вальда, является чистая стратегия A2 – отказ от операции. Это

очень осторожная стратегия, приводящая к тому, что никто из больных не проживет более D лет, хотя среди них есть и такие, которым хирург мог бы

88

продлить жизнь до G лет. Для этой части больных неоправданные потери в виде нереализованной продолжительности жизни равны G − D .

При использовании матрицы M f , учитывающей и необходимость ми-

нимизации неоправданных потерь, оказывается, что у нее седловой точки нет и решение ищется в смешанных стратегиях. В соответствии с (3.6) оптималь-

мальным является применение хирургом смешанной стратегии с соотношением частот, даваемым выражением (З.11). Это правило менее точно, чем выбор оптимальной чистой стратегии при известной величине q , но оно все же лучше, чем отсутствие какого бы то ни было решения в аналогичной ситуации.

Если в силу разных причин хирург не может уверенно назвать ни величину D , ни величину G , то можно утверждать, что в такой ситуации вследствие априорно известного условия G + D > G − D оптимальным является применение смешанной стратегии, причем A2 должна использоваться чаще, чем A1.

Для практической реализации приведенных выше типовых алгоритмов решения существует специальная карта [8] (см. прил. 2), которая вкладывается в историю болезни.

3.6. Решение игр m × n

Для игр m ×n геометрическая интерпретация неприменима. Здесь применяются чисто расчетные методы. Можно показать, что решение любой конечной игры m ×n может быть сведено к задаче линейного программирования.

Рассмотрим игру m ×n . У игрока A имеется m стратегий: A1, A2, ..., Am ; у игрока B есть n стратегий: B1, B2, ..., Bn . Такая игра задается матрицей иг-

L = x1 + x2 +... + xm

Решив эту задачу линейного программирования, мы можем найти оптимальную стратегию S*A игрока A.

Нахождение SB* . Оптимальная стратегия SB* находится аналогично. Разница заключается в том, что игрок B стремится не максимизировать, а минимизировать выигрыш, а значит максимизировать величину 1γ. Следовательно, вместо условий (3.13) должны соблюдаться условия

y1, y2, ..., yn , чтобы они удовлетворяли условиям (3.14) и обращали в максимум линейную функцию

L = y1 + y2 +... + yn =1γ

или, что то же самое, обращали в минимум линейную функцию L′= −L:

L′= −y1 − y2 −... − yn = −1γ.

Таким образом, любая конечная игра m ×n сводится к паре задач линейного программирования.

Пример 3.8. Рассмотрим игру «Три пальца», которая формулируется следующим образом. Два игрока одновременно и независимо показывают 1, 2 или 3 пальца. Выигрыш равен сумме показанных пальцев. Если это число четное, то выигрывает игрок А, а если нечетное, то выигрыш достается игроку В. Платежная матрица этой игры имеет вид, как в табл. 3.25.

91

бодных членов уменьшалось или при этом убывали их абсолютные величины). Осуществим замену переменных:

x3 ↔ y3

и переразрешим систему уравнений относительно новых базисных переменных y1, y2, x3. Тогда получим систему уравнений

y1 = −114 x1 +2x2 +119 y3 −112 ; y2 = 2x1 +9x2 −1;

x3 = −119 x1 +111 y3 +111 .

Пробуем следующее опорное решение: x1 = x2 = y3 = 0 . Оно также не подходит, поскольку y1 = −112 , y2 = −1. Но это решение лучше предыдуще-

го, так как число отрицательных переменных уменьшилось. Снова осуществим замену переменных

x2 ↔ y2 ;

опорным. Вычислим целевую функцию

L = x1 + x2 + x3 = − 994 x1 + 19 y2 +111 y3 + 9920 .

В нашей опорной точке L = 9920 . Так как коэффициент при x1 имеет от-

рицательный знак, то, сделав x1 больше нуля, можно еще значительнее уменьшить L. Однако при этом надо сделать равной нулю какую-то переменную из базисных ( y1, x2, x3) . Из последней системы уравнений видно, что

93

при увеличении x1 быстрее всего станет равным нулю переменная y1. Поэтому нужно снова осуществить замену переменных:

x1 ↔ y1;

x1 = − 8099 y1 + 1140 y2 + 8081 y3 + 201 ;

x2 = 101 , L = 15 . Это – оптимальное решение, так как в L все коэффициенты

положительны и никакое увеличение y1, y2, y3 сверх нуля не приведет к

уменьшению значения целевой функции.

Итак, оптимальное решение основной задачи ЛП найдено. Теперь найдем решение нашей игры 3×3:

Аналогично решается задача поиска оптимальной стратегии SB* игрока

94