Материалы по курсу (часть 2)

Если их только 2, то используют геометрический метод.

Если их больше 2-х, то используют вычислительные методы.

Пример

Заданы 3 уравнения:

1 + 2 = 1 { 2 − 2 3 = −3

3 − 4 + 5 = 1

Требуется:

1.Записать эту задачу как задачу ограничения неравенств

2.Решить основную задачу

= − 1 − 2 + 5

Решение:

n=5 (кол-во переменных) m=3 (кол-во уравнений) n-m=2=k

Пусть 1 и 4 свободные переменные

1 и 4 свободные

2 = 1 − 1

{3 = 2 − 0.5 1

5 = 4 − 1 + 0.5 1

2 = 0 → 1 − 1 = 0 → 1 = 13 = 0 → 2 − 0.5 1 = 0 → 1 = 4

5 = 0 → 4 − 1 + 0.5 1 → 4 = 1 − 0.5 1

Штриховка так, чтобы ≥ 0

= − 1 − 2 + 5 = − 1 − 1 + 1 + 4 + 0,5 1 − 1 = 4 + 0,5 1 − 2′ = − 0 = 0,5 1 + 4

′ = 0 → 0,5 1 + 4 = 0 → 4 = −0,5 1

Получили открытую ОДР, следовательно, решение на [AB]

(если бы по условию L′ → max, то решения не было бы)

Решение в опорной точке (.)А: x1 = 0, x4 = 1, x2 = 1, x3 = 2, x5 = 0

6. Симплекс-метод решения задачи ЛП

Алгоритм выполнения симплекс-метода решения задачи ЛП:

•Запишем исходные данные в виде системы уравнения, где 1, 2, 3, 4 –свободные переменные

−5 1 − 2 − 2 3 ≤ 2 { − 1 + 3 + 4 ≤ 5 −3 1 − 5 4 ≤ 7

= 5 1 − 2 3 стремится к минимуму

•Введем базовые переменные

n = 7 (указано в дано к задаче), m = 3 (кол-во уравнений), k = n – m = 4 (базовых переменных) Базисными обозначим: 1, 2, 3 и

1 = 5 1 + 2 − 2 3 + 2 { 2 = 1 − 3 − 4 + 53 = 3 1 + 5 4 + 7

= 5 1 − 2 3

Приравняем все свободные переменные (т.е. все оставшиеся) к нулю.

1 = 2 { 2 = 53 = 7

= 5 1 − 2 3 = 0

Мы получили первую опорную точку = 0, однако же обратим внимание на то, что при 3 стоит минус. Это значит, что, сделав переменную положительной, мы получим меньшее значение . В таких случаях говорят, что функция убывает быстрее при положительных значениях 3. Базисные переменные априори ≥ 0, следовательно сделаем 3 базисной.

Очень просто: у тебя стоит - 3, значит если 3, например, 4 → = 5 1 − 2 4, что меньше,

чем, например, если бы 3 стал (−4) → = 5 1 − 2 (−4)

Если бы мы получили такую функцию L, где все значения были бы с +, то такое значение называлось бы оптимальным (то, к чему мы стремимся по ходу решения).

•Процедура замены свободной переменной на базисную

В контексте нашей задачи в первом и во втором неравенстве есть отрицательный 3. Необходимо выбрать какую базисную переменную будем заменять 1 или 2. Смотрим на коэф-ты при иксе, в первом случае функция убывает быстрее, т.к. −2 меньше, чем −1, следовательно выбираем 1.

{ 3 = 3 1 + 5 4 + 7

Выразили 3 через 1, 1, 2 и подставили получившееся выражение во второе неравенство вместо − 3 (в третьем нечего было заменять).

Очень доходчиво: первым делом мы поделили все в первом неравенстве на коэф-т, стоящий при 3 (2) и перенесли в правую часть новые свободные переменные, а в левой остался 3

как базисный.

1 = 5 1 + 2 − 2 3 + 2

Обратите внимание = 5 1 − 2 3 тоже меняется = 5 1 − 5 1 − 2 + 1 − 2 = − 2 + 1 −

2

Таким образом получаем промежуточную систему уравнений:

{ 3 = 3 1 + 5 4 + 7

= − 2 + 1 − 2

Пусть 1, 2, 1, 4 = 0, тогда = −2, хороший результат, но все же мы видим, что перед 2 стоит минус, значит можно сделать L ещё меньше, необходима вторая замена по тому же алгоритму. Выбираем 2, т.к. других вариантов просто нет.

3 = 3 1 + 5 4 + 7

= −2 − (8 − 3 1 − 2 4 + 1 − 2 2) + 1

Сделаем последние преобразования

3 = 5 + 1 − 4 − 2 { 2 = 8 − 3 1 − 2 4 + 1 − 2 23 = 3 1 + 5 4 + 7

= −10 + 3 1 + 2 4 + 2 2

Пусть 1, 4, 1, 2 = 0, тогда = −10

Отметим, что в выражении L все знаки при коэф-тах положительны, больше преобразовывать ничего не нужно, мы получили минимальное значение = 10

Ответ: = 10

7. Табличный алгоритм замены переменных.

Рассмотрим применение данного алгоритма на конкретном примере.

Рассмотрим систему пяти уравнений-ограничений:

с четырьмя свободными переменными: x1, x2, x3, x4. Пусть нам требуется вывести из числа свободных какую-нибудь переменную, например x2 и перевести ее в базисные, а взамен ее ввести в число свободных какую-то базисную переменную, скажем y3 короче, мы хотим обменять местами переменные x2 и y3. Эту замену мы будем символически обозначать

Посмотрим, какие действия надо для этого осуществить.

Вообще, можно было бы для каждой новой системы уравнений проводить переразрешение заново, т.е. для замены .

Мы взяли бы в третьем уравнении (6.1) член а32х2, содержащий х2 (назовем его

«разрешающим членом»; разумеется, предполагаем а32≠0 ) , перенесли бы его в левую часть,

а у2 – в правую; решили бы уравнение относительно х2 и подставили бы выражение для х2 во все остальные уравнения. Процедура достаточно громоздкая, требующая напряженного внимания; при ее выполнении легко ошибиться (особенно при большом числе уравнений). Но так как здесь каждый раз нужно проделывать одни и те же операции, то их достаточно выполнить один раз в общем виде и вывести правила преобразования, которые затем можно применять автоматически.

Целесообразно предварительно несколько преобразить систему уравнений (6.1),

представив их правые части как разности между свободными членами и суммой остальных:

(6.1)

Обозначая

получим:

(6.2)

Форму записи уравнений (6.2) мы будем называть стандартной.

Очевидно, вместо того чтобы полностью записывать уравнения (6.2), можно ограничиться заполнением стандартной таблицы, где указаны только свободные члены и коэффициенты при переменных. Первый столбец таблицы мы отведем под свободные члены,

второй, третий, четвертый и пятый – под коэффициенты при переменных х1, х2, х3, х4 в

стандартной форме (6.2). Стандартная таблица для системы (6.2) имеет следующий вид

(Табл.6.1).

Таблица 6.1.

Мы хотим произвести замену Т.е. перевести переменную х2 в число базисных, а переменную у3 - в число свободных. Выделим в стандартной таблице разрешающий элемент α32 (обведем его кружком); выделим так же жирными линиями строку и столбец, в которых стоит разрешающий элемент. Эту строку и этот столбец мы будем называть разрешающей строкой и разрешающим столбцом (см.табл. 6.2).

Таблица 6.2.

Выполняя операцию надо в разрешающей строке поместить переменную х2, а в разрешающем столбце – переменную у3 (это отмечено в таблице рядом со строкой и столбцом).

Найдем коэффициенты, которые нужно будет поставить в таблице после

обмена начнем с преобразования разрешающей строки. Решим третье уравнение (6.2) относительно х2, получим:

(6.3)

Таким образом, преобразованные элементы разрешающей строки найдены.

Составим правило преобразования остальных строк. Для этого подставим в первое уравнение (6.2) вместо х2 его выражение (6.3). После проведения подобных членов получим

Нетрудно убедиться, что совершенно аналогичным образом преобразовываются все остальные строки. В результате мы получим преобразованную таблицу (см. табл. 6.3),

в которой операция уже совершена.