Материалы по курсу (часть 2)

Оглавление

10. Метод динамического программирования (ДП). Алгоритм решения задач управления состоянием организма в биотехнических системах. Основное рекуррентное уравнение ДП.

.......................................................................................................................................................45

1.Методы принятия оптимальных решений. Математические модели операции: детерминированный случай, оптимизация решений в условиях неопределенности.

Операция − любое управляемое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом, направленное на достижение опред. цели.

Определенный выбор, зависящих от нас параметров, составляют решения.

Основная задача исследования операций − предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Функцию эффективности составляют операции.

Эффективность операции − степень приспособленности к стоящей задаче (чем лучше организована операция, тем она эффективнее).

В исследовании операций вводятся показатели эффективности или целевая функция.

Целевая функция определяется моделью операции.

Модель операции определяет круг методов оптимизации Математические модели операции

Детерминированный случай модель операции позволяет вычислить значение целевой функции для любого решения

W – показатель эффективности

W=W( 1, 2,…;x1,x2…)

i – некоторые известные факторы

xi – элементы решения, которые зависят от нас, факторов

параметры могут быть некоторые числа, функции, ограничения на элементы решения, x − числа или функции

Возникает класс вариационных задач если известно аналитическое решение этой модели, используется поиск экстремумов функции;

если вид функции неизвестен − поисковый метод, пройдя пошагово по ф-и, или метод пропорционального поиска, градиентный поиск.

Если параметры − это линейная ф-я, используются методы линейного программирования.

Если исследуется динамическая система, т.е. развитие ее состояния во времени, и удается выделить некоторые промежуточные состояния, то используются методы динамического программирования.

Оптимизация решений в условиях неопределенности

W=W( 1, 2,…;y1,y2…; x1,x2…)

yi − неизвестные условия проведения операции

Применяемые методы зависят от природы yi

Примеры:

1если yi параметры, обладающие статической устойчивостью, yi заменяются в < yi >и

используются методы детерминирования случая, или используют оптимизацию в среднем

W->max => <W>->max

2yi не подчиняются статическим значениям, изменяются хаотично, тогда находят множество оптимальных решений, из которых выбираются наилучшие, решения не будет строго оптимальным

3yi зависят не от объективных обстоятельств, а зависят от активного противодействия,

противника (при боевых действиях, спортивных соревнованиях, конфликтные ситуации)

Для выработки тактики используют теорию игр особенность теории игр: учитывает, что противник ведет себя наилучшим для нас образом

2.Методы принятия оптимальных решений. Оценка операции по нескольким показателям.

Оценка операции по нескольким показателям Пусть есть несколько показателей эффективности W1, W2,…Wk

некоторые максимизируются, другие минимизируются достижения максималного эффекта при минимуме затрат НЕКОРРЕКТНО

ПРАВИЛЬНО: достижения максимума эффективности при заданных затратах или наоборот

a) отбрасывание заведомо плохих вариантов пусть операция оценивается по 2 показателям

b) использование составных критериев

U=a1W1+a2W2+…+akWk (взвешенная сумма) ai> 0, если Wi ->max

ai <0, если Wi -> min

ai − коффициенты, которые связаны со степенью важности каждого веса d) сведение к одному показателю с некоторыми ограничениями

многоэтапная процедура самый важный показатель впереди (ранжирование)

нахождение максимума первого показателя при ограничениях на остальных

Любая задача линейного программирования (ЛП) может быть сведена к его основной задаче, формулируемой математически следующим образом. Имеется ряд переменных .Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые бы удовлетворяли системе линейных уравнений:

Допустимым решением основной задачи ЛП называют любую совокупность переменных

1 ≥ 0, 2 ≥ 0, … , ≥ 0

удовлетворяющую уравнениям (1.1).

Оптимальным решением называется то из допустимых решений, при котором линейная функция (1.2) обращается в минимум.

Наконец, может оказаться, что допустимые решения основной задачи ЛП существуют, но среди них нет оптимального: функция L в области допустимых решений не ограничена снизу.

Матрицей системы линейных уравнений (1.1) называется таблица, составленная из коэффициентов при 1, 2, … ,

Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется та же матрица, дополненная столбцом свободных членов:

Структура задачи линейного программирования существенно зависит от ранга системы ограничений (1.1). Рассмотрим прежде всего случай, когда r=n, т. е. когда число линейно независимых уравнений, входящих в систему (1.1), равно числу переменных n. Если отбросить уравнения,являющиеся линейными комбинациями других, система уравнений-ограничений основной задачи ЛП принимает вид

11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 = 121 1 + 22 2 + + 2 + + 2 = 2

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

1 1 + 2 2 + + + + =

(1.3)

Так как r = n, то определитель, составленный из коэффициентов,

Если среди этих решений нет ни одного, для которого все 1, 2, … , неотрицательны, это значит, что основная задача ЛП не имеет допустимого, а следовательно, оптимального решения.

Если же существуют какие-то решения системы (1.1), для которых все

1, 2, … ,

неотрицательны, то каждое из них допустимо. Возникает задача – найти среди допустимых решений оптимальное, т. е. такое решение 1, 2, … , для которого линейная функция (1.2) обращается в минимум.

На практике ограничения в задаче ЛП часто задаются не уравнениями, а неравенствами. Рассмотрим, как можно перейти от задачи с ограничениями-неравенствами к основной задаче ЛП.

Пусть имеется задача ЛП с n переменными 1, 2, … , в которой ограничения, наложенные на эти переменные, имеют вид линейных неравенств. В некоторых из них знак неравенства может быть , в других (второй вид сводится к первому переменой знака в обеих частях неравенства). Поэтому зададим все ограничения-неравенства в стандартной форме:

11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 + 1 ≥ 021 1 + 22 2 + + 2 + + 2 + 2 ≥ 0

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

1 1 + 2 2 + + + + + ≥ 0 (1.4)

Будем считать, что все эти неравенства линейно независимы. Требуется найти такую совокупность неотрицательных значений 1, 2, … , которая удовлетворяла бы неравенствам (1.4), и, кроме того, обращала бы в минимум линейную функцию = 1 1 +2 2 + +

От задачи, поставленной таким образом, легко перейти к основной задаче ЛП. Введем обозначения:

= 11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 + 1;

= 21 1 + 22 2 + + 2 + + 2 + 2;

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

Где 1, 2, … , – некоторые новые переменные, которые принято называть добавочными. Согласно условиям (1.4), эти добавочные переменные так же, как и1, 2, … , , должны быть неотрицательными.

Таким образом, возникает задача линейного программирования в следующей постановке: найти такие неотрицательные значения n + m переменных 1, 2, … , , ; 1,2, … , чтобы они удовлетворяли системе уравнений (1.5) и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных

= 1 1 + 2 2 + +

Рассмотрим работу станции скорой помощи. Известно, что имеется n классов больных (травматические, кардиологические, ожоговые и т. д.) Число вызовов (в день) по классу больных равно . На станции имеется m групп передвижных бригад скорой помощи (общего типа, кардиологические и т. д.) A1, A2 ,…, Am. Группа насчитывает бригад (и столько же машин). Выезд бригады из группы к больному класса обеспечивает эффективность обслуживания этого больного, равную . Предполагается, что каждая бригада может в день обслужить N вызовов. Кроме того, считается, что общее число выездов точно совпадает с числом вызовов, т. е.

где =

Спрашивается, сколько вызовов от каждого типа больных должна об служить каждая группа этих бригад . чтобы суммарная эффективность обслуживания L, подсчитываемая по формуле = ∑=1 ∑=1 , (1.6) была максимальна?

Это транспортная задача ЛП. Математически она формулируетсякак максимизация L (или минимизация L = − L) при ограничениях

С целью достижения лучшего соответствия реальным условиям данная задача может быть усложнена, если равенства (1.7) и (1.8) заменить соответствующими неравенствами.

К задаче сводятся разнообразные распределительные задачи: распределение врачей разной специальности по разным группам больных в условиях массового заболевания, распределение ограниченного количества нескольких лекарственных препаратов по различным группам больных, распределение операторов по рабочим местам, распределение работ при трудотерапии психических больных по результатам их психофизиологического тестирования и др.