1. Средняя квадратич.Ошибка весового среднего.
Средние
квадратические ошибки неравноточных
измерений различны, поэтому для оценки
точности таких измерений выбирают общую
меру. Такой мерой является средняя
квадратическая ошибка такого измерения,
вес которого равен единице.Следует
отметить, что величина М (средняя
квадратическая ошибка веса) может
относится к воображаемому измерению,
если среди результатов нет ни одного с
весом равным единице.
.
Установим
связь между средней квадратической
ошибкой единицы веса М и средней
квадратической ошибкой результата
измерений с весом :
.
Если имеем ряд неравноточных измерений
с весами P1, P2, P3 и средней квадратической
ошибкой m1, m2,...,mn, то для каждого результата
измерений ошибки веса будут равны:
.
Среднее
квадратическое значение из этого ряда
будет:
.
Если заменить m на ∆ или δ, то получим
соответственно:
.
Эту формулу можно применять для связи
ошибки весового среднего М0 с весом [P]
и ошибкой единицы веса М, то есть можно
записать:
.
2. Метод наименьших квадратов – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке геодезических измерени.
Метод наименьших квадратов содержит в себе 2 основных способа: коррелатный и параметрический, которые при строгом уравнивании дают одинаковые результаты. Выбор способа обычно зависит от объема вычислений, определяемого в основном количеством совместно решаемых уравнений, т.е. конфигурацией сети. Коррелатный способ более оптимален для свободных сетей и сетей с небольшим числом исходных пунктов и большим числом определяемых – по-скольку количество уравнений равно числу избыточных измерений. Параметрический способ, наоборот, выгоден для сетей с большим числом исходных и малым числом определяемых, по-скольку количество уравнений будет равно числу необходимых измерений.
Идея коррелатного способа заключается в отыскании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределенные множители, называемые коррелатами. Сущность уравнивания коррелатным способом состоит в том, что задачу нахождения минимума функции уравнения разложенного по ряду Тейлора решают по способу Лагранжа с определенными коррелатами, в результате чего получают коррелатные уравнения поправок (векторы поправок). Преобразовав уравнения поправок получают нормальные уравнения коррелат, через которые находят вероятнейшие значения поправок.
Параметрический способ подразумевает вычисление поправок не к измеренным величинам, а к каким-то приближенным значениям (параметрам), т.е. к конечным результатам уравнения, которыми в геодезических сетях являются координаты или высоты пунктов, и непосредственное получение вероятнейших значений параметров, минуя вероятнейшее значение измеренных элементов сети.
Метод наименьших квадратов был предложен К. Ф. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально этот метод использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.