16.Уравнивание системы нивелирных ходов с одной узловой точкой. Оценка точности.

Пусть требуется уровнять систему из 3-х нивелирных ходов. Дано: Суммарные превышения по ходам  . Длины ходов в км  . Уравнивание: сначала определяют допустимость невязок по наиболее коротким ходам, включающим все измеренные превышения.Находят значения отметки узловой точки О по каждому ходу и их веса: . Определяют окончательное значение отметки узловой точки как весовое среднее: . После этого находят невязки по каждому ходу: .Распределяют полученные невязки на превышения по правилу увязки одиночного хода и вычисляют отметки точек по каждому ходу. Согласно теории ошибок: . Если веса вычислены как то СКО хода  .Так как вес окончательного значения отметки узловой точки равен сумме весов, средняя квадратическая ошибка определения весового среднего:

17.Уравнивание системы теодолитных ходов с одной узловой точкой. Оценка точности.

Пусть известны плановые координаты В1,К1,F и дирекционные углы исходных линий .Измерены горизонтальные углы и длины линий di.Сначала вычисляют значения дирекционного угла узловой линии по каждому ходу : ,где -число углов до узловой линии в i-м ходе (i=1,2,3); - сумма углов в i-м ходе. Приняв вес суммы углов i-го хода равным окончательное значение дирекционного угла узловой линии вычисляют по формуле среднего взвешенного :

.Как и при уравнивании системы нивелирных ходов, находят угловые невязки по каждому ходу: .Уравнивание приращений координат производят раздельно для : , , ,где i- вес абциссы(ординаты) узловой точки. Поправки в приращения координат находят: ,где - j-я длина стороны i-го хода. Оценку точности измерения углов производят по известной из теории погрешностей формуле, которая в данном случае дает приближенное значение ср.квад.погреш. измерения угла: ,где N-число ходов.

18.Уравнивание систем нивелирных и теодолитных ходов с двумя узловыми точками способом приближений.

Этот способ применяется в тех случаях. когда исходные пункты находятся внутри сети или когда число полигонов более чем в полтора раза превышает число узловых точек. При этом способе получают последовательными приближениями неизвестные величины, связанные с узловыми точками. В нивелирной сети известны высоты  исходных пунктов, измеренные превышения по ходам  длины ходов  и число станций  . Требуется найти высоты x, y и z узловых точек 

На основании метода наименьших квадратов можно составить систему уравнений с неизвестными высотами x, y и z и привести их к виду: .

где  или   — вес измеренного превышения  .

19.Уравненивания полигонов по способу в.В.Попова.

Способ проф. В.В. Попова применяется для уравнивания как свободной, так и несвободной сети полигонов.

Для нивелирной сети этот способ является строгим, т.е. дает такие же результаты, что и метод наименьших квадратов. Применительно же к сети теодолитных полигонов он не является строгим, поскольку при этом способе производится раздельное уравнивание углов и приращений координат.

Покажем сущность способа проф. В.В. Попова на примерах уравнивания различных сетей полигонов. 

Уравнивание нивелирной сети 

Рассмотрим сеть, состоящую из трех полигонов. Прежде всего подсчитывают невязки в превышениях по каждому полигону, соответствующие обходу полигона по направлению часовой стрелки, и их наибольшие по абсолютной величине допустимые значения. Результаты этих вычислений записывают на том же чертеже сети.

Убедившись в допустимости невязок, переходят к уравниванию сети. Для этой цели строят новый схематический чертеж сети крупных размеров, на котором непосредственно производится вычисление поправок на звенья.

На этом чертеже примерно в центре каждого полигона строят рамочки, над которыми римскими цифрами пишут номера полигонов, а внутри рамочек записывают невязки. Затем вне каждого полигона у каждого его звена строят рамочки для записи поправок.

Для каждого звена полигона вычисляют красные числа ki, ki,j (i — номер данного полигона, j — номер смежного с ним). Красным числом называется отношение числа станций в звене к числу станций во всем полигоне (или отношение длины звена к периметру полигона).

Сумма красных чисел для каждого полигона должна быть равна единице (например, в первом полигоне 0,46 + 0,23 + + 0,31 = 1).

Полученные таким путем числа записывают красным цветом над соответствующими рамочками, расположенными вне полигона около его звеньев. Затем приступают к распределению невязок пропорционально красным числам соответствующих полигонов. Это распределение невязок производят непосредственно на чертеже сети, применяя при этом метод последовательных приближений.

Умножив невязку первого полигона (I) на его красные числа, полученные произведения, сумма которых должна быть равна распределяемой невязке (—25 — 12 — 17 = —54), записывают в соответствующих данному полигону рамочках. Распределенную невязку подчеркивают.

Переходят к полигону II. Здесь значение невязки изменится на величину поправки, перешедшей из полигона I (+38 — 12 == = +26). Учтенную поправку подчеркивают. Новую невязку распределяют пропорционально красным числам этого полигона (0,26; 0,46; 0,28) и полученные произведения (+7, +12, +7), сумма которых должна быть равна распределяемой невязке, записывают во внешних к полигону рамочках под соответствующими красными числами. Распределенную невязку подчеркивают.

В полигоне III будет новая невязка, равная сумме начальной невязки и поправок, перешедших из полигонов I и II (+36—17 + + 7 = +26). Учтенные поправки подчеркивают. Полученную невязку распределяют таким же путем, как и в первых двух полигонах, и подчеркивают.

Закончив распределение невязок во всех полигонах, возвращаются к полигону I. Здесь появится новая невязка, равная сумме поправок, перешедших из смежных полигонов. Эта невязка распределяется так же, как и первый раз.

Таким образом, закончив первый цикл распределения невязок, приступают ко второму, затем к третьему и так далее до тех пор, пока все невязки полигонов станут равными нулю.

Следует помнить, что во избежание повторного использования одной и той же величины в процессе распределения невязок каждое использованное значение необходимо сразу же подчеркнуть.

После того как все невязки будут распределены, подсчитывают суммы чисел во всех табличках у звеньев.

Правильность вычисления этих сумм контролируют по формулам. Расхождение при этом контроле не должно превышать 1,5 единицы последнего знака суммы.

Затем вычисляют поправки на звенья каждого полигона, считая направление звеньев совпадающим с направлением обхода полигона. Иначе говоря, чтобы получить поправки на звенья, внешние суммы полигона переносят внутрь полигона с противоположным знаком и складывают с его внутренними суммами для тех же звеньев, считая внутреннюю сумму равной нулю, если звено является внешним. В каждом полигоне сумма поправок на звенья должна равна невязке полигона с обратным знаком [например, для i полигона I: +14 +18 +22 = +54 = —(—54)].

Введя поправки в измеренные превышения, получают исправленные (уравненные) их значения, по которым вычисляют затем отметки узловых точек.

По поправкам на звеньях можно определить среднюю квадратическую погрешность нивелирования хода длиной 1 км по формуле:

где, Li — длина звена, r — число полигонов.

Оценка точности будет надежна только в том случае, когда число полигонов r не слишком мало.

Если требуется вычислить высоты точек, расположенных внутри какого-либо звена, то производится уравнивание превышений в этом звене по п равилу д одиночного хода.