3.3 Уравнение движения тела переменной массы

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m–dm, а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда или

(3.12)

где выражение называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:

(3.13)

Уравнение (3.13) называется уравнением И.В. Мещерского.

3.4 Формула Циолковского

Применим уравнение (3.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

откуда

или

где С – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m₀, то .Следовательно,

(3.14)

Полученное соотношение называют формулой Циолковского. Из выражения (3.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса m₀;

б) чем больше скорость истечения газов u, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с.

Лекция 4 Работа и энергия, закон сохранения энергии

4.1 Работа, энергия и мощность

4.2 Кинетическая энергия

4.3 Консервативные и диссипативные силы

4.4 Закон сохранения энергии в механике

4.1 Работа, энергия и мощность

Энергия — универсальная мера различ­ных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения мате­рии связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит­ную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холод­ное), в других — переходит в иную фор­му (например, в результате трения меха­ническое движение превращается в тепло­вое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействую­щими телами, в механике вводится по­нятие работы силы.

Пусть тело движется под действием постоянной сила , которая составляет некоторый угол θ с на­правлением вектора перемещения. Тогда элементарная работа, совершаемая силой определяется:

(4.1)

где - угол между направлением действующей силы и перемещением (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 – Перемещение тела под действием силы.

Работа - скалярная величина. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж). Джоуль равен работе, совер­шаемой силой 1 Н при переме­щении точки ее приложения на 1 м в направлении действия силы: 1 Дж = 1 Н ^. м.

Поскольку работа является скалярной величиной, то она может иметь как поло­жительное, так и отрицательное значение (в зависимости от знака косинуса угла θ).

Работа, совершаемая силой , положительна, если угол θ между вектором силы и векто­ром перемещения меньше 90°.

При значениях угла 90° < α < 180° работа силы отри­цательна.

Если вектор силы перпен­дикулярен вектору перемещения , то косинус угла θ равен ну­лю и работа силы равна нулю.

Рассмотрим работу на конечном пути от точки 1 до точки 2. Разобьем весь путь S от точки 1 до точки 2 на элементарные перемещения, на каждом из которых силу можно считать постоянной. Работа аддитивная величина, т.е. работа на конечном участке пути равна алгебраической сумме работ, совершенных на таких элементарных перемещениях:

. (4.2)

Устремив к нулю длины перемещений, а их число - к бесконечности, получим предел суммы, который есть не что иное, как интеграл по траектории:

. (4.3)

Итак, работа - криволинейный интеграл вектора вдоль траектории S. Этот интеграл дает по определению работу силы по траектории S. Графическая иллюстрация понятия работы представлена на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – Перемещение тела под действием силы.

На графике отложена проекция силы на направление движения в зависимости от положения частицы на траектории S. Заштрихованная площадка под кривой на расстоянии элементарного перемещения равна элементарной работе . Работа на всем участке 1-2 равна площади под всей кривой от точки 1 до точки 2.

Для оценки эффективности работы различных механизмов необходимо знать как быстро совершают они ту или иную работу. С этой целью вводится понятие мощности.

Мощность N — скалярная физическая величина, равная отношению работы А к промежут­ку времени , в течение которого она совершена (скорость совершения работы):

. (4.4)

Единица мощности в СИ называется ваттом (Вт). Один ватт равен мощности, при которой совершается работа в 1 Дж за время 1 с

В технике пользуются более крупными единицами: киловат­том и мегаваттом. 1 кВт = 10³ Вт, 1 МВт = 10⁶ Вт.

Работа, совершаемая за 1 ч при мощности в 1 кВт, назы­вается киловатт-часом: 1 кВт ^. ч = 10³ Вт ^. 3600 с = 3,6 ^. 10⁶ Дж.

В случае движения тела с постоянной скоростью под действием силы F (преодолевающей сопротивление движению) мощность может быть выражена формулой

. (4.5)

Любой двигатель или механизм предназначены для выполнения опреде­ленной механической работы, которую называют полезной работой .

Эффективность рабо­ты машины характеризуют коэффициентом полезного действия – (КПД).

Коэффициент полезного действия — это отношение полезной рабо­ты , совершенной машиной, ко всей затраченной работе (подведен­ной энергии ):

, (4.6)

где — полезная и затраченная мощности соответственно. КПД обычно выражают в процентах.

Остановимся теперь более подробно на определении работ, совершаемых силами трения, тяжести и упругости.