13.2 Первое начало термодинамики

Как отмечалось выше, основу термодинамики составляют два начала (или закона). Истори­чески в формулировке первого начала термодинамики важную роль сыг­рали неудачные попытки человека построить машину, которая произво­дила бы работу, не потребляя эквивалентного количества энергии; такую машину назвали вечным двигателем (от лат. «перпетуум мобиле») перво­го рода. Поэтому первое начало термодинамики формулируют в виде следующего утверждения: невозможно построить вечный двигатель первого рода.

Первое начало термодинамики – это закон сохранения и превраще­ния энергии в термодинамике.

Как мы уже знаем, внутренняя энергия тела изменяется как при сообщении телу количества теплоты, так и при совершении над ним ра­боты, то, учитывая правила знаков, закон сохранения энергии примени­тельно к происходящему процессу можно сформулировать следующим образом: изменение внутренней энергии тела равно разности сообщенно­го телу количества теплоты и произведенной над ним механической работы:

(13.14)

или количество теплоты, сообщенное телу, идет на увеличение его внутренней энергии и на совершение телом работы над внешними телами:

(13.15)

Так формулируется первое начало термодинамики – закон сохра­нения энергии применительно к тепловым процессам.

Если в замкнутой системе, состоящей из нескольких тел, имею­щих первоначально различную температуру, происходит теплооб­мен, то никакая работа внутри системы не совершается.

Так как система замкнута, то изменение внутренней энергии систе­мы равно нулю, но происходит изменение внутренней энергии тел систе­мы. Согласно первому началу термодинамики, изменение внутренней энергии тел системы равно количеству теплоты, отданному или получен­ному этими телами до наступления теплового равновесия внутри систе­мы, т. е. состояния, при котором температура перестает изменяться.

Попробуем применить первого начала термодинамики к изопроцессам.

Изохорный процесс. Рассмотрим нагревание одного моля газа, происхо­дящее при постоянном объеме. Так как V = const, то dV = 0, а следова­тельно, и δA=0. Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщенная газу при изохорном процессе, идет на уве­личение его внутренней энергии:

С другой стороны тогда

(13.16)

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Если газ идеальный, то С_V от температуры не зависит и является величиной постоянной. Выражение (13.16) показывает, что внутренняя энер­гия идеального газа» пишется однозначной функцией температуры.

Интегрируя выражение (13.16), имеем

(13.17)

Последнее выражение есть закон Джоуля: внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от его плотности (объема).

Из закона Джоуля и закона о равномерном распределении энергии по степеням свобода вытекает соотношение между C_V и i:

(13.18)

Изобарный процесс. Рассмотрим нагревание моля газа, происходящее при постоянном давлении (р = const). При этом изменяются объем и температура следовательно, совершается работа δA = pdV и изменяется внутренняя энергия dU. Первое начало термодинамики для этого процесса имеет вид:

При изобарном процессе поэтому первое начало термодинамики примет вид:

или, поскольку внутренняя энергия является функцией лишь температуры

(13.19)

Запишем уравнение состояния для моля идеального газа:

Для изобарного процесса это уравнение имеет вид:

Подставим это выражение в формулу (13.19) получим:

откуда

(13.20)

Это соотношение называют уравнением или формулой Майера.

Подставляя С_V из уравнения (13.18) в уравнение Майера, имеем

или (13.21)

Изотермический процесс. При Т = const изменение внутренней энергии dU = 0, поэтому все сооб­щаемое системе количество теплоты расходуется на совершение работы против внешних сил, следовательно:

Адиабатный процесс. Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, на­зывают адиабатным (δQ = 0).

Осуществить процесс, близкий к адиабатному, можно в том случае, если газ находится внутри оболочки с очень хорошими теплоизоляцион­ными свойствами. Адиабатными можно считать быстро протекающие процессы. При быстром сжатии газа затрачивается работа, приводящая к увеличению внутренней энергии и повышению температуры. Примером адиабатного процесса может служить взрыв горючей смеси при работе двигателя внутреннего сгорания.

Первое начало термодинамики для адиабатного процесса имеет вид

или

При адиабатном процессе работа совершается только за счет изме­нения внутренней энергии газа, т. е.

откуда

При адиабатном расширении газ совершает работу, его внутренняя энергия и, следовательно, температура понижаются.

При адиабатном сжатии работа газа отрицательна, его внутренняя энергия и, следовательно, температура возрастают. Явление охлаждения газа при адиабатном расширении широко используется в технике, напри­мер в работе холодильных установок.

Для моля идеального газа справедливо уравнение Клапейрона–Менделеева

Из этого уравнения при условии, что изменяются все три параметра (р,V,T), имеем

Учитывая, что получаем .

Используя уравнение Майера (13.20), запишем

Разделим это выражение на (C_VVp) и введем обозначение у = С_р /С_V. Тогда . Интегрируя это выражение, имеем где А — постоянная интегрирования. Из всего этого следует, что

(13.22)

Полученное уравнение для адиабатического процесса называется уравнением Пуассона. Оно связывает па­раметры состояния газа при данном про­цессе.

На плоскости (p, V) процесс адиабатического расширения (или сжатия) газа изображается кривой, которая называется адиабатой. При адиабатическом расширении газ совершает положительную работу (A > 0); поэтому его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0).

Это приводит к понижению температуры газа. Вследствие этого давление газа при адиабатическом расширении убывает быстрее, чем при изотермическом расширении (рисунок  13.2.)

Учитывая, что а имеем

, (13.23)

(γ – показатель адиабаты или коэффициент Пуассона).

Рисунок 13.2 – Семейства изотерм (красные кривые) и адиабат (синие кривые) идеального газа.

Вычислим работу А, совершаемую 1 молем идеального газа при адиабатном процессе:

Так как то

(13.24)