Раздел 1 Механика Лекция 1 Кинематика

1.1 Предмет, задачи и основные понятия механики

1.2 Тангенциальное, нормальное и полное ускорение

1.3 Равномерное движение по окружности

1.4 Неравномерное движение по окружности

1.1 Предмет, задачи и основные понятия механики

В механике рассматриваемые взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, в результате которых изменяются скорости точек этих тел или возникают деформации, например, притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела.

Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику Галилея-Ньютона, предметом изучения которой являются движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемые со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение макроскопических тел со скоростями порядка скорости света рассматривается релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности Эйнштейна. Для описания движения элементарных частиц и внутриатомных явлений законы классической механики неприменимы – они заменяются законами квантовой механики.

Классическая механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают (т.е. движение тел без учета их масс и действующих на них сил). Методы и зависимости, устанавливаемые в кинематике, используются при расчетах передач движения в различных механизмах и машинах, а также при решении задач динамики.

Динамика изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы механики Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики.

Статика изучает условия равновесия материальных тел под действием сил. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики всегда рассматриваются в связи с законами динамики.

Основными понятиями в механике, физике и естествознании в целом являются пространство и время. Всякое материальное тело имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выражает последовательность состояний материи, составляющих любой процесс, любое движение. Таким образом, пространство и время представляют собой наиболее общие формы существования материи.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательным движением называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д. Вращательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).

Как правило, при изучении движения тел их деформации не учитываются, — тела рассматриваются как абсолютно твердые.

Абсолютно твердое тело — такое тело, у которого взаимное расположение частиц остается при движении тела неизменным. Часто, рассматривая движение тела, можно пренебречь его размерами и особенностями формы. В таких случаях изучение движения абсолютно твердого тела может быть заменено изучением движения материальной точки.

Под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Замена твердого тела материальной точкой представляет собой известную абстракцию (приближение) и может оказаться допустимой при изучении одних движений этого тела и недопустимой при изучении других его движений. Нас будут интересовать два случая, в которых тело можно рассматривать как материальную точку: а) размеры тела малы по сравнению с расстоянием, пройденным телом при его движении, или расстояниями от этого тела до других тел; б) все точки тела движутся одинаково, т. е. имеют в любой момент времени одинаковые скорости и движутся по одинаковым линиям – траекториям. Такое движение тела называется поступательным движением. При таком движении любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельной самой себе. Перемещения, мгновенные скорости и ускорения (см. ниже) всех точек одинаковы, т. е. равны по модулю и направлению.

Поступательное движение тел можно разделить на два типа по виду траектории движения; прямолинейное движение, если траектория движения – прямая, и криволинейное движение, если траектория — произвольная кривая.

Положение тела в пространстве можно определить только относительно какого-нибудь другого тела или других тел. Поэтому, когда речь идет о движений, то имеется в виду относительное движение, т. е. движение тела относительно другого тела, которое условно принимается за неподвижное.

Тело отсчета – тело, принимаемое за неподвижное, отно­сительно которого рассматривается движение других тел.

Если с телом, принятым за неподвижное и называемым телом отсчета, мысленно связать систему координат, то эта система координат вместе с выбранным способом измерения времени образует систему отсчета. Таким образом, система отсчета состоит из тела отсчета, системы коорди­нат, связанной с телом отсчета, и прибора для измерения времени. Обычно пользуются прямоугольной системой координат, представляющей собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей х, у, z. Если движение тела (материальной точки) происходит в одной плоскости, то достаточно двух осей координат х и у (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1– К определению понятий система координат, радиус-вектор

и координата.

При изучении движения материальной точки ее положение в каждый момент времени определяется по отношению к некоторой системе отсчета координатами материальной точки М либо ее радиус-вектором.

Радиус-вектор точки М – направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М.

Координата х точки М – это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось ОХ.

Основная задача механики - определение положение тела в пространстве в любой момент времени (установить уравнение движения тела).

К реальному пространству с высокой степенью точности применима геометрия Евклида, которая наиболее просто выглядит в декартовой системе координат.

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x(t), y = y(t), z = z(t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Векторный и координатный способы описания движения.

Путь S – скалярная физическая величина, определяемая длиной тра­ектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь все­гда положителен: S > 0.

Перемещение Δr тела за определенный промежуток времени — на­правленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конеч­ное положение тела:

, (1.1)

где r₁ и r₂ — радиусы-векторы, определяющие начальное и конечное положения тела.

Скорость – мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсче­та.

Средняя путевая скорость _ср – отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

(1.2)

Это величина скалярная, по определению не может быть отрицательной, в системе единиц СИ измеряется в метрах на секунду (м/с).

Средняя скорость перемещения < > — векторная физиче­ская величина, равная отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено:

< > = (1.3)

Мгновенная скорость тела — скорость тела в данный момент вре­мени (или в данной точке траектории). Она равна пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени

(1.4)

Здесь ' — производная от радиуса-вектора по времени. В проекции на ось Ох:

(1.5)

Таким образом, скорость – это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 – Направления средней и мгновенной скоростей.

В природе чаще всего наблюдаются движения, в которых скорость изменяется как по величине (модулю), так и по направлению, т.е. приходится иметь дело с неравномерными движениями. Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быс­троту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменя­ется скорость тела за единицу времени.

Среднее ускорение — физическая величина, численно равная отноше­нию изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

< >= (1.6)

Мгновенное ускорение:

(1.7)

В зависимости от значений тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение тела классифицируется по-разному. Если (величина скорости не изменяется по величине), движение является равномерным. Если > 0, движение называется ускоренным, если < 0 – замедленным. Если = const 0, то движение называется равнопеременным. Наконец, в любом прямолинейном движении (нет изменения направления скорости).

Таким образом, движение материальной точки может быть следующих видов:

1) – прямолинейное равномерное движение.

2) – прямолинейное равнопеременное движение.

Путь пройденным телом при равномерном движении

. (1.8)

При равнопеременном движении

Если начальный момент времени , а начальная скорость , то, обозначив и , получим:

откуда . (1.9)

Проинтегрировав это выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени, получим формулу для нахождения длины пути, пройденного точкой при равнопеременном движении:

(1.10)

Зависимость координаты от времени при равноускоренном прямолинейном движении

(1.11)