5.4 Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса частицы относительно точки О называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора частицы на ее импульс p.

При вращательном движении тела каждая его частица m_i движется с линейной скоростью по окружности радиусом с угловой скоростью ω, которая одинакова для всех точек тела.

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частиц:

. (5.21)

Момент импульса — вектор, совпадающий по направлению с век­тором угловой скорости.

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

.

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систе­му тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т. е. М = 0, то dL = 0 и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса):

. (5.22)

Допустим, что у вращающегося тела вследствие каких-либо причин происходит увеличение момента инерции, что приводит к уменьшению угловой скорости. Согласно выражению (5.22), можно записать , где J₁ и ω₁ — момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, J₂ и ω₂ — в момент времени t.

Иллюстрацией закона сохранения момента импульса может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5- Неупругое вращательное столкновение двух дисков.

Закон сохранения момента импульса: для данного случая будет иметь вид:

Закон сохранения момента импульса связан с однородностью и изотропностью пространства, т. е. этот закон можно получить из второго закона Ньютона, если к нему добавить соответствующие свойства сим­метрии пространства. Под однородностью пространства понимают рав­ноправность всех точек пространства. Под изотропностью пространст­ва понимают равноправность всех направлений в пространстве. Про­странство как таковое не может изменить импульс из-за отсутствия вы­деленных в пространстве точек в силу их равноправия. Изменение им­пульса (и момента импульса) всегда связано с силой, т. е. с взаимодейст­вием тел.

Лекция 6 Тяготение, неинерциальные системы отсчета

6.1 Законы Кеплера и закон всемирного тяготения

6.2 Неинерциальные системы отсчета, силы инерции

6.3 Центробежная сила инерции

6.4 Сила Кориолиса

6.1 Законы Кеплера и закон всемирного тяготения

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям. Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем. В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми.

Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.): Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рисунке 6.1 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогеем. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 6.1 – Эллиптическая орбита планеты массой m << M.

а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.): Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Иллюстрация второго закона Кеплера, который иногда называется законом площадей, приведена на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 – Закон площадей – второй закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рисунке 6.2 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

или (6.1)

Здесь – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и : так как

Из этих отношений следует:

(6.2)

Поэтому, если по второму закону Кеплера , то и момент импульса L при движении остается неизменным. В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.): Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

или (6.3)

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью порядка 1 %.

На рисунке 6.3 изображены две орбиты, одна из которых круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок 6.3 – Круговая и эллиптическая орбиты.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:

(6.4)

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6,67·10–11 Н·м²/кг² – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T² ~ R³, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует центростремительная сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

(6.5)

Если T² ~ R³, то

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рисунок 6.4).

Рисунок 6.4 – Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ΔA_i гравитационной силы на малом перемещении есть:

(6.6)

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:

В пределе при Δr_i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

(6.7)

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

(6.8)

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рисунок 6.5).

При E = E₁ < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r_max. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 6.5 – Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле,

создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

При E = E₂ = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E₃ > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Из второго закона ньютона для данного случая:

следует м/с. (6.9)

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории. Из выражения

следует

м/с. (6.10)