2. Простейшая однопродуктовая модель определения размера партии

Рассмотрим самые простые модели управления запасами, в которых спрос является известным и постоянным. Иногда спрос настолько регулярен, что его можно рассматривать как детерминированный. Детерминированность спроса характерна для дорогостоящего оборудования и предметов потребления длительного пользования. При малой интенсивности спроса его можно считать детерминированным. Полученные с помощью таких моделей результаты дают представление о поведении системы управления запасами даже при отказе от гипотезы детерминированности.

Рассмотрим модель оптимальной партии поставки, которая строит­ся при следующих предположениях: спрос v в единицу време­ни является постоянным; заказанная партия доставляется од­новременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зави­сят от величины q партии; из­держки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис.5.1 показана динамика изменения уровня запасов I.

Рис. 1

Уровень запаса снижаетcя равномерно от q до 0, после чего подается заказ на до­ставку новой партии величины q. Заказ выполняется мгновенно, и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной  между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла L_ц состоят из стоимости заказа К и затрат на содержа­ние запаса, которые пропорциональны средней величине запа­са I = q/2 и длине цикла  = q/v,

.

Разделив это выражение на длину цикла , получим общие затраты в единицу времени

(1)

Функция затрат является суммой двух функций и изображена на рис. 5.2

Чтобы вычислить оптимальный размер партии поставки, нужно приравнять к нулю первую производную функции затрат по q (необходимое условие экстремума), то есть решить уравнение

Отсюда оптимальный размер партии заказа:

. (2)

Эту формулу называют формулой размера партии, эко­номичной величиной заказа, формулой квадратного кор­ня, формулой Уилсона и т. д.

Оптимальный интервал между поставками

. (3)

Суммарные затраты по формированию поставок и со­держанию запасов в единицу времени

. (4)

Так как (достаточное условие экстремума), то для всех q > 0

в ыражение (4) является минимумом функции затрат (1).

Пример 1. Фирма GMC имеет устойчивый спрос на 600 электродвигателей в год. Стоимость одного двигателя составляет 200 ден. ед., затраты на хранение и поддержание в хорошем состоянии составляют 12% от стоимости запасов. Затраты на размещение заказа, не зависящие от величины партии составляют 450 ден. ед. Необходимо определить размер партии, при котором затраты на организацию поставок и хранение наименьшие.

Решение. Оптимальная партия (штук).

Интервал между заказами

Минимальные затраты

Пример 2. Жидкие продукты нескольких видов разливаются в па­кеты на одной линии упаковки. Затраты на подготовительно-заключи­тельные операции составляют 700 ден. ед., потребность в продуктах со­ставляет 140000 л в месяц, стоимость хранения 1 л в течение месяца — 4 ден. ед. Определить оптимальные параметры системы. Сравнить мини­мальные затраты с затратами при действующей системе разлива одного продукта в течение трех дней.

Решение. Определим оптимальные параметры модели Уилсона.

Размер экономичной партии составляет

(литров),

время разлива каждого продукта

(месяца)=1,5(дня),

наименьшие затраты

(ден. ед.).

При действующей системе

3(дня) = 0,1(месяца), за это время изготавливается партия

14000 (литров),

величина затрат при действующей системе

(ден.ед).

Переход к оптимальному режиму работы приведет к снижению затрат на 3500 - 2800 = 700 ден. ед.

Усложним модель и будем учитывать время выполнения заказа.

В реальных ситуациях необходимо учитывать время выполнения заказа. При планировании поставок нужно знать либо время размещения очередного заказа, либо уровень запаса, при котором нужно заказывать новую партию. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается r.

В момент подачи заказа уровень запаса должен обеспечивать бесперебойное снабжение на время выполнения заказа. Если время выполнения заказа меньше длины цикла , то

.

Если время выполнения заказа не меньше длины цикла , то уровень запаса определяется по формуле

,

где наибольшее целое число, не превосходящее , т. е. целая часть числа .

Сумму наличного запаса и заказанной партии будем называть уровнем текущего запаса. На графике он изображается пунктирной линией. Динамика изменения уровня наличного и фиктивного запаса для величины начального запаса I₀ = q при и при изображена на рис. 3 и рис. 4 соответственно.

Рис. 3 Рис. 4

Определим моменты размещения заказов. Чтобы первая заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент . В общем случае заказы следует размещать в моменты

Продолжение примера 1. Запас двигателей в фирме GMC на начало года составляет 100 штук. Время, необходимое на оформление заказа, время в пути и таможенное оформление составляет 30 дней. Необходимо определить уровень запаса, пpи котором нужно подавать заказ и моменты подачи заказа.

Решение. 30 дней составляет года.

Очередной заказ нужно подавать, когда на складе осталось

(двигателей).

При управлении запасами можно ориентироваться на время подачи заказа. Первый заказ необходимо сделать в момент

(года) = 30 (дней),

следующий заказ – в момент

(года) = 120 (дней) и т.д.

Динамика уровня запаса изображена на Рис.

200

150

1000

50

Рис. 5