Статистические игры

Специфическим видом игр, имеющих большое значение при анализе различных практических ситуаций, являются так называемые статистические игры. Во многих практических ситуациях приходится сталкиваться со случаями, когда один из игроков оказывается нейтральным, т.е. не стремиться извлечь для себя максимальной выгоды и, следовательно, не стремится обратить в свою пользу ошибки, совершенные противником. Например, проектируя гидротехнические сооружения, мы стремимся сделать их надежными, несмотря на непредсказуемые землетрясения, паводки; создавая систему профилактических и аварийных ремонтов, мы преследуем какую-то цель, не зная в точности времени возникновения аварий ит.п.

Если один из игроков не является сознательно действующим противником, то его называют природа, а соответствующие игры – игры с природой. В этом случае стратегиями природы будут ее возможные состояния. Сознательно действующий игрок может собрать дополнительную статистическую информацию о возможных состояниях природы. Цель статистических игр – выбор наилучших стратегий (с точки зрения возможно большего выигрыша или возможно меньшего проигрыша сознательно действующего игрока).

Такой выбор основывается на платежной матрице.

Пример 1. Предприятие производит скоропортящуюся продукцию.

В ближайшую неделю прогнозируется температура воздуха 20-28 градусов. Изучение спроса показало, сто при температуре 20-22 градуса продается 600 единиц продукции, при температуре 23-25 градуса 700 единиц, при температуре 26-28 градусов 800 единиц. Оборудование предприятия позволяет производить такое количество продукции. Стоимость производства единицы продукции составляет 15 д.е., предприятие реализует единицу продукции по 20 д.е. Если в течение недели продукция не продается, предприятие сдает её на переработку по цене 6 д.е. за штуку. Если спрос не удовлетворяется, то предприятие терпит убытки – 5 д.е. на единицу продукции.

Описать данную ситуацию количественно в терминах теории игр.

Решение. Представленная в данном примере ситуация является игрой. В качестве игроков в ней выступает руководство предприятия, принимающее решение об объемах производства, и природа – изменение температуры в интервале 20-28 градусов, что определяет уровень спроса. Тогда у руководства предприятия можно выделить три стратегии: А₁ – производить 600 единиц продукции в неделю; А₂ – производить 700 единиц продукции и А_{3 –} производить 800 единиц продукции. У природы также можно выделить три стратегии: В₁ – спрос на продукцию в неделю составит 600 единиц; В₂ – 700 единиц и В₃ – 800 единиц. Выигрыш предприятия опишем через показатель прибыли для различных стратегий предприятия и при различных состояниях природы. Таким образом, матрица выигрышей будет иметь размерность 3Χ3. Рассчитаем ее элементы.

Пусть ЛПР выберет стратегию А₁ и природа в ответ противопоставит стратегию В₁. Это соответствует элементу матрицы а₁₁ и означает, что предприятие за неделю произведет 600 единиц продукции и спрос на неё также реализуется в объеме 600 единиц. Тогда прибыль предприятия составит:

а₁₁ = (20-15) д.е. Χ 600=3000 д.е.

Пусть ЛПР выберет стратегию А₁, а природа в ответ противопоставит стратегию В₂, т.е. предприятие произведет 600 единиц продукции, а спрос составит 700 единиц продукции. Таким образом, будет неудовлетворен спрос на продукцию в объеме 100 единиц. Прибыль предприятия в этом случае будет равна:

а₁₂ = (20-15) д.е. Χ 600-5 д.е. Χ 100 =2500 д.е.

Аналогично рассчитаем а₁₃:

а₁₃ = (20-15) д.е. Χ 600-5 д.е. Χ 200 =2000 д.е.

Если же ЛПР выберет стратегию А₂, а природа реализует стратегию В₁, что соответствует производству продукции в объеме 700 д. единиц, а спросу – 600 единиц, то 100 единиц продукции не будет продано, поэтому прибыль предприятия в такой ситуации составит:

а₂₁ = - 15 д.е. Χ 700+20 д.е. Χ 600+6 д.е. Χ 100 = 2100 д.е.

Рассуждая подобным образом, получим:

а₂₂ = (20-15) д.е. Χ 700 = 3500 д.е.

а₂₃ = (20-15) д.е. Χ 700-5 д.е. Χ 100 = 3000 д.е.

а₃₁ = - 15 д.е. Χ 800 + 20 д.е. Χ 600+6 д.е. Χ 200 = 1200 д.е.

а₃₂ = - 15 д.е. Χ 800 + 20 д.е. Χ 700+6 д.е. Χ 100 = 2600 д.е.

а₃₃ = (20-15) д.е. Χ 800 = 4000 д.е.

В результате платежная матрица в нашем примере будет иметь вид:

.

При выборе наилучших стратегий различают две ситуации: ситуацию, в которой вероятности состояний природы неизвестны, и тогда говорят о принятии решений в условиях неопределенности, и ситуацию, в которой вероятности состояний природы известны, тогда говорят о принятии решений в условиях риска [11]. Для каждой из ситуаций существуют свои критерии (принципы) выбора наилучших решений. Рассмотрим их.

Критериии выбора наилучших стратегий в условиях неопределенности.

Критерий Вальда. Этот критерий основан на принципе крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наихудших условиях принимающий решение находит наилучший выход.

Т

j

аким образом, принимающий решение для каждой стратегии А_i находит наименьший выигрыш а_i=min а_ij, Затем среди наименьших выигрышей он находит наибольший:

(1)

Стратегия , соответствующая будет наилучшей по Вальду. Ее часто называют максиминной стратегией.

Пример 2. Для условий примера 1 определить наилучшую стратегию по критерию Вальда.

Решение. Для каждой из стратегий выберем наименьший выигрыш. Для стратегии А₁ наихудшим будет состояние природы П₃, наименьшим выигрышем предприятия будет прибыль 2000д.е., т.е., а₁=2000д.е. Для стратегии А₂ наихудшим будет состояние природы П₁, а наименьшим выигрышем а₂= 2100 д.е. Для стратегии А₃ наименьшим выигрышем будет а₃=1200д.е. Запишем наименьшие выигрыши в дополнительный столбец платежной матрицы:

В₁ В₂ В₃ а_i

А₁ 3000 2500 2000 2000

А₂ 2100 3500 3000 2100

А₃ 1200 2600 4000 1200

.

Далее из наименьших выигрышей принимающий решение выбирает наибольший, т.е. а₂=2100= Наибольший из наименьших выигрышей соответствует стратегии А₂. Это будет наилучшая стратегия по критерию Вальда. Таким образом, если руководствоваться принципом крайнего пессимизма (критерием Вальда), то следует производить 700 единиц продукции. При этом прибыль предприятия будет не меньше 2100 д.е. при любом спросе.

Критерий Сэвиджа. Этот критерий основан на принципе минимизации максимального риска и предполагает последовательную реализацию двух шагов: на первом шаге определяется матрица рисков как база для выбора наилучшей стратегии; на втором – проводится выбор наилучшей стратегии по критерию.

Шаг 1. Риском r_ij, , , называют разницу между тем выигрышем, который мог бы получить ЛПР, если бы знал, какое состояние реализует природа и его реальным выигрышем, то есть, r_ij=β_ij – , где . Иначе говоря, риск r_ij – это потери для i-й ( ) стратегии от того, что в условиях j ( ) не была реализована лучшая стратегия.

Матрица рисков R имеет вид:

П₁ П₂ … П_n

R=

А₁ r₁₁ r₁₂ … r_1n

А₂ r₂₁ r₂₂ … r_2n

… … … … …

А_m r_m1 r_m2 … r_mn

Пример. 3. Для примера 1 рассчитать матрицу рисков.

Решение. Рассчитаем риск для каждой пары стратегий природы и принимающего решение. Если бы менеджер предприятия точно знал, что природа реализует свое состояние П₁, т.е. спрос составит 600 единиц продукции, то он бы выбрал стратегию А₁; при этом предприятие получило бы прибыль 3000 д.е. – наибольшую для состояния природы П_1, β₁=3000. Для состояния природы П₂ наибольшая прибыль равна β₂=3500, а для состояния природы П₃ - β₃=4000. По определению, для стратегии А₁ и состояния природы П₁ риск, r₁₁, составит β₁-а₁₁=3000-3000=0, для стратегии А₂ и состояния природы П₁ риск r₂₁ составит r₂₁= β₁-а₂₁=3000-2100=900, и так далее.

Получаем матрицу рисков:

П₁ П₂ П₃

П₁ П₂ П₃

А₁ r₁₁ r₁₂ r₁₃

А₁ 0 1000 2000

R=

=

А₂ r₂₁ r₂₂ r₂₃

А₂ 900 0 1000

.

А₃ r₃₁ r₃₂ r₃₃

А₃ 1800 900 0

Шаг 2. Далее ЛПР для каждой стратегии А_i находит максимальный риск r_i, r_i= . Затем из максимальных рисков выбирает минимальный:

, (2)

т.е. в данном случае критерий Вальда формально записывается с точностью до наоборот (см. (15.5))

Стратегия А_i0, соответствующая минимальному из максимальных рисков r_i0, будет наилучшей по Сэвиджу.

Пример 4. Для условий примера 1 определить наилучшую стратегию по критерию Сэвиджа.

Решение. Ориентируясь на матрицу рисков примера 15.5 ЛПР для каждой стратегии выбирает максимальный риск. Для стратегии А₁ максимальным будет риск, равный 2000, т.е. r₁=2000. Аналогично r₂=1000; r₃=1800. В матрицу рисков добавляем столбец, содержащий максимальный риск для каждой стратегии:

П₁ П₂ П₃ r_i

А₁ 0 1000 2000 2000

R=

А₂ 900 0 1000 1000 101000

.

А₃ 1800 900 0 1800 1800

Из максимальных рисков принимающий решение выбирает минимальный: То есть минимальному из максимальных рисков соответствует вторая стратегия. Наилучшей по критерию Сэвиджа стратегией будет стратегия А₂. Если предприятие будет производить 700 единиц продукции, то его потери, связанные с упущенной выгодой будут не больше 1000 д.е.

Критерий Гурвица. Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. Наилучшей по Гурвицу является стратегия А_i0, соответствующая числу а_i0, которое рассчитывается по формуле:

(3)

Значение параметра γ характеризует вес пессимизма при принятии решения и задается на основании опыта и характера ЛПР. Если γ=1, то критерий Гурвица преобразуется в критерий крайнего пессимизма:

.

Если γ=0, то получаем критерий крайнего оптимизма:

.

Обычно, на практике, выбирают 0<γ<1.

Пример 5. Для условий примера 1 определить наилучшую стратегию по критерию Гурвица.

Решение. Пусть в примере 1 ЛПР в большей мере является оптимистом, он использует критерий Гурвица, в котором γ=1/5.

Для каждой стратегии А_i рассчитаем число а_i; :

а₁=1/5*2000+4/5*3000=2800,

а₂=1/5*2100+4/5*3500=3220,

а₃=1/5*1200+4/5*4000=3440.

.

Числу а₃=3440 соответствует стратегия А₃, т.е. при таком выборе параметра γ наилучшим по Гурвицу вариантом является производство предприятием 800 единиц изделий.

Таким образом, в задаче 1 лучшей по всем критерию Вальда и Сэвиджа будет вторая стратегия, а по критерию Гурвица – третья. Выбор третьей стратегии на основе критерия Гурвица объясняется тем, что этот выбор определяется числом γ, определяемым ЛПР на основе собственного опыта и склонности к риску. Поэтому критерий Гурвица является более субъективным, чем критерии Вальда и Сэвиджа. И хотя использование игры с природой при принятии решений в условиях неопределенности не всегда дает однозначный результат, принимающий решение упорядочивает данные, определяет состояния природы и свои возможные решения, оценивает потери и выигрыши для различных вариантов, что способствует повышению качества принимаемых решений.

Критерий выбора наилучших решений в условиях риска. Как уже было сказано ранее, в этой ситуации известны вероятности, с которыми реализуются состояния природы. Эти вероятности либо рассчитываются на основе статистических данных, либо определяются экспертным путем. Для принятия решений в условиях риска используется критерий Байеса. Пусть принимающий решение имеет m стратегий, а природа n, причем состояние природы П_j реализуется с вероятностью р_j, для каждой стратегии A_i рассчитывается ожидаемый выигрыш ,

Наилучший по Байесу будет стратегия А_i, соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу

, (4)

Пример 15.8. Пусть, в примере 15.3, спрос на изделия предприятия в объеме 600единиц устанавливаются с вероятностью р₁=1/5, в объеме 700 единиц с вероятностью р₂=3/5 и в объеме 800единиц с вероятностью р₃=1/5. Определить наилучшую по Байесу стратегию производства изделий.

Решение.

Для каждой стратегии А_i рассчитаем ожидаемую прибыль

,

,

.

Согласно критерию Байеса наилучшей будет стратегия, соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу: . Т.е. при таких вероятностях спроса на продукцию предприятия наилучшей по Байесу стратегией будет вторая: предприятию следует производить 700 единиц изделий в неделю, и тогда ожидаемая прибыль предприятия составит 3120д.е.

Кроме ожидаемого выигрыша ЛПР может рассчитать его вариацию для каждой стратегии. Обозначим вариацию выигрыша для стратегии А_i через V_i, .

Тогда V₁=1/5(3000-2500)²+3/5(2500-2500)²+1/5(2000-2500)²=100000;

V₂=1/5(2100-3120)²+3/5(3500-3120)²+1/5(3000-3120)²=297600;

V₃=1/5(1200-2600)²+3/5(2600-2600)²+1/5(4000-2600)²=784000.

Самую большую вариацию имеет третья стратегия, следовательно она самая рискованная. Наименее рискованной является первая стратегия. Но и ожидаемый средний выигрыш меньше, чем у второй стратегии. ЛПР придется выбирать: либо стратегию А₁ с меньшим риском и меньшим ожидаемым выигрышем, либо стратегию А₂ с большим ожидаемым выигрышем и большим риском. Выбор будет зависеть от склонности ЛПР к риску.

Индивидуальное задание по теме «Статистические игры»

Банк планирует объем привлеченных ресурсов на следующий месяц. По прогнозам аналитиков спрос на ресурсы в следующем месяце может возникнуть в объеме либо а₁, либо а₂, либо а₃ млн. д. ед. Средняя процентная ставка по привлеченным ресурсам планируется в размере p₁ процентов, а по размещенным p₂ процентов. Если спрос на ресурсы окажется больше, чем объем привлеченных ресурсов, т.е. у банка ухудшится ликвидность, то банк понесет убытки в размере c₁ процентов от недостающих средств. Если же объем привлеченных ресурсов окажется больше, чем спрос на них, то убытки банка составят c₂ процентов от неработающих средств. Какой объем привлеченных ресурсов следует планировать банку, чтобы иметь возможно большую прибыль или возможно меньшие убытки. Использовать все критерии. Число и вероятности стратегий природы выбирать самостоятельно.

№ варианта	a1	a2	a3	p1	p2	c1	c2
1	500	600	700	10	15	4	3
2	450	550	650	15	20	5	2
3	425	525	625	20	25	10	6
4	430	530	630	18	22	12	8
5	560	660	760	21	25	11	7
6	575	675	775	16	20	9	7
7	630	730	830	17	20	13	11
8	620	720	820	19	25	12	9
9	624	724	824	18	24	9	7
10	735	835	935	22	26	12	8
11	345	445	545	13	17	5	4
12	445	555	655	15	22	10	8
13	469	569	669	21	25	9	5
14	765	865	965	19	24	11	6
15	628	728	828	23	27	12	7
16	370	470	570	16	20	13	8
17	355	455	555	17	21	12	9
18	645	745	845	15	19	9	6
19	230	330	430	14	21	8	6
20	255	355	455	19	24	7	5
21	445	545	645	15	21	10	7
22	470	570	670	14	19	7	4
23	870	970	1070	20	25	10	5
24	670	770	870	16	22	11	7
25	640	740	840	17	26	12	8
26	375	475	575	15	20	11	9
27	435	535	635	18	21	9	6
28	485	585	685	19	25	13	10
29	360	460	560	14	22	10	5
30	545	645	745	17	23	12	8