Модели анализа эффективности инвестиционных проектов

При рассмотрении инвестиционных проектов возникают вопросы об эффективности инвестиционных вложений; о том, какое влияние на эффективность инвестиций оказывает инфляция; как учесть риск при оценке инвестиционных проектов; как оценить ставку дисконтирования; какой проект предпочесть; в какие проекты из нескольких следует вложить средства, чтобы получить максимальную отдачу и выполнить определенные условия. Эти вопросы рассматриваются в [1,2,3]. Ответам на эти и другие вопросы и посвящен данный раздел.

Методы оценки экономической эффективности инвестиций. В современном инвестиционном анализе наиболее широкое применение получили дисконтные методы оценки эффективности инвестиций, базирующиеся на определении текущей стоимости денежных потоков, возникающих в результате реализации проекта. Эти модели позволяют учесть в процессе принятия решений требуемую норму доходности, стоимость денег во времени, риск. К ним относят чистую текущую стоимость (Net Present Value – NPV), внутреннюю норму доходности (Internal Rate of Return – IRR), индекс рентабельности (Profitability Index – PI).

Текущая стоимость инвестиционного проекта. Введем следующие обозначения:

n	–	число периодов реализации проекта;
I0	–	первоначальные инвестиции в проект;
FCFt	–	свободный денежный поток (free cash flow), генерируемый проектом, в периоде t;
CIFt	–	суммарные поступления от проекта в периоде t (cash inflows);
COFt	–	дополнительные инвестиции в проект в периоде t (cash outflows);
r	–	ставка дисконтирования.

Текущей стоимостью проекта PV называют величину, равную

(30)

Т.о. текущая стоимость проекта есть сумма дисконтированных, т.е. приведенных к первоначальному моменту времени свободных денежных потоков, возникающих в результате реализации проекта.

Текущей стоимости можно дать следующую экономическую интерпретацию: если в качестве ставки дисконта используется банковская процентная ставка, то PV равна начальному капиталу, который будучи положенным в банк под сложную процентную ставку r обеспечивает последовательность платежей, равных свободным денежным потокам проекта.

Пример 16.21. Первоначальные инвестиции в некоторый проект составляют 400 д.е. Проект рассчитан на 2 года, причем в первый год денежные поступления от проекта составляют 300 д.е., а во второй – 500 д.е. Банковская процентная ставка составляет 30 %. Рассчитать текущую стоимость проекта и дать ее экономическую интерпретацию.

Решение. По условию примера CIF₁=300 д.е., CIF₂=500 д.е., r=30%=0,3, n=2, тогда на основании формулы (16.30) рассчитаем PV:

.

Теперь, пусть сумму 526,63 д.е. положили в банк под сложную процентную ставку 30 % годовых. В конце первого года накопленная сумма составит

Далее, пусть банк выплатит клиенту 300 д.е. Оставшаяся сумма составит д.е., и в конце второго года накопленная сумма будет равна , т.е. следующий платеж составит 500 д.е.

Т.о., мы показали, что сумма PV, положенная в банк под процентную ставку, равную ставке дисконта, обеспечит платежи, равные денежным потокам проекта.

Чистая текущая стоимость инвестиционного проекта. Чистой текущей стоимостью инвестиционного проекта называют величину

. (31)

Т.о. NPV представляет собой разность между суммой приведенных к начальному моменту поступлений от реализации проекта и суммой приведенных к начальному моменту инвестиций, включая и первоначальные (I₀). Очевидно, что если сумма дисконтированных поступлений больше суммы дисконтированных затрат (NPV>0), то проект для выбранной ставки дисконтирования является эффективным и принимается. Если сумма дисконтированных поступлений меньше суммы дисконтированных затрат (NPV<0), то проект отклоняется. Если сумма дисконтированных поступлений равна сумме дисконтированных затрат (NPV=0), то нужен дополнительный анализ.

Вывод: NPV>0, проект принимается,

NPV<0, проект отклоняется,

NPV=0, необходим дополнительный анализ.

Можно дать следующую экономическую интерпретацию чистой приведенной стоимости: NPV показывает, на сколько меньше денег требуется вложить в проект, чем в банк под сложную процентную ставку, равную ставке дисконтирования, чтобы свободные денежные потоки проекта были равны банковским платежам.

Пример 16.22. Рассчитать чистую приведенную стоимость проекта из примера 16.21.

Решение.

NPV=PV-I₀, PV=526,63, I₀=400,

NPV=526,63-400=126,63 д.е.

NPV>0, следовательно проект принимается.

Можно сделать следующий вывод: для того, чтобы получить платежи, равные свободным денежным потокам проекта (300 д.е. в конце первого года и 500 д.е. в конце второго года), в банк следует вложить на 126,63 д.е. больше чем в проект (при условии, что банковская процентная ставка равна ставке дисконтирования).

Выбор ставки дисконтирования. При выборе ставки дисконтирования необходимо руководствоваться ее экономическим смыслом, который заключается в том, что ставка дисконтирования должна отражать доходность альтернативных инвестиций с таким же уровнем риска. Любая инвестиция должна приносить такую прибыль, которая по меньшей мере возместит инвесторам утраченную возможность вложить свои деньги в другой объект или проект. В современном инвестиционном анализе используются следующие методы определения ставки дисконтирования: метод экспертных оценок, нормативный метод, кумулятивный метод, метод стоимости собственного капитала, метод средневзвешенной стоимости капитала. Метод экспертных оценок основывается на суждениях специалистов-экспертов в области инвестиционного анализа. Нормативный метод предполагает использование рекомендуемых ставок дисконтирования, либо их формирование с помощью заданного алгоритма. Нормативные ставки обычно состоят из двух частей: безрисковой и премии за риск. Метод кумулятивного построения заключается в том, что к безрисковой ставке доходности последовательно добавляются премии за различные виды риска, связанные со спецификой конкретного инвестиционного проекта. Если используется метод стоимости собственного капитала, то ставку дисконтирования принимают равной стоимости собственного капитала, а при расчете NPV используют не свободные денежные потоки, а остаточные, доступные акционерам. В дальнейшем мы будем считать, что ставка дисконтирования полагается равной доходности альтернативных проектов с тем же уровнем риска.

Зависимость чистой текущей стоимости от ставки дисконтирования

Из формулы (16.31) следует, что зависимость NPV от ставки дисконта является нелинейной:

.

Рассчитаем первую и вторую производные NPV по r:

,

.

Очевидно, что если свободные денежные потоки неотрицательны, т.е. FCF_t≥0, для всех , то и (случай, когда FCF_t=0, - нереален). Отсюда следует вывод: если свободные денежные потоки инвестиционного проекта неотрицательны, то с ростом ставки дисконтирования r значение NPV монотонно убывает, причем график функции NPV(r) будет выпуклым вниз.

Рис. 1. Зависимость NPV от ставки дисконта r в случае неотрицательных свободных денежных потоков.

Если среди свободных денежных потоков есть отрицательные (поступления от проекта в некотором периоде меньше дополнительных инвестиций), то зависимость NPV от ставки дисконтирования не будет монотонной, величина NPV может несколько раз менять знак с ростом ставки дисконта r. Например, график зависимости может иметь вид, представленный на рис. 16.2.

Рис. 2 График зависимости NPV от ставки дисконтирования в случае произвольных денежных потоков.

Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта. Внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return – IRR) инвестиционного проекта это такая ставка дисконтирования, при которой чистая текущая стоимость проекта равна нулю. Тогда для определения IRR следует решить уравнение

(32)

Чем больше величина IRR, тем больше экономическая эффективность инвестиционного проекта. В процессе принятия решений величина IRR сравнивается с процентной ставкой, отражающей требуемую инвесторами доходность. Так как в качестве ставки дисконтирования часто принимают доходность альтернативных инвестиций с тем же уровнем риска, то величину IRR сравнивают со ставкой дисконтирования. Если IRR>r, т.е внутренняя норма доходности исследуемого проекта выше, чем альтернативных, то проект принимается; если IRR<r – альтернативные инвестиции имеют более высокую доходность и проект следует отвергнуть; если IRR=r, то при принятии решения следует использовать другие аргументы.

Внутренней норме доходности можно дать следующую экономическую интерпретацию: если в банк положить сумму, равную первоначальным инвестициям I₀, под сложную процентную ставку IRR, то она обеспечит платежи, равные свободным денежным потокам инвестиционного проекта.

Пример 16.23. Найти внутреннюю норму доходности инвестиционного проекта из примера 16.21.

Решение.

По условию: I₀=400 д.е.; n=2; CIF₁=300 д.е., CIF₂=500 д.е., r=30%=0,3, COF₁=0 д.е., COF₂=0 д.е., тогда FCF₁=300 д.е., FCF₂=500 д.е. и уравнение для расчета IRR будет иметь вид

.

Для решения этого уравнения воспользуемся ППП Excel, получим IRR=0,55 или 55 %.

Вывод: IRR=55 % > r = 30 %, проект следует принять. Если 400 д.е. положить в банк под сложную процентную ставку 55 %, то в конце первого года банк выплатит 300 д.е., а в конце второго года 500 д.е.

Индекс рентабельности инвестиционного проекта. Индекс рентабельности (Profitability Index) PI показывает, сколько единиц приведенных к начальному моменту поступлений от реализации проекта приходится на единицу приведенных к первоначальному моменту инвестиций, т.е.

. (33)

Очевидно, что если PI>1, то сумма приведенных поступлений от проекта превышает сумму приведенных затрат и тогда NPV>0. Если PI<1, то и NPV<0; PI=1NPV=0. Таким образом, если PI>1, то проект принимается; если PI<1 – проект отклоняется; PI=1 – инвестиции не приносят дохода, а только окупаются. Индекс рентабельности часто используют, когда необходимо сделать выбор из нескольких проектов, или ранжировать их по критерию наибольшей величины поступлений, приходящихся на единицу затрат.

Пример 16.24. Найти индекс рентабельности проекта из примера 21.

Решение. Воспользуемся формулой (33):

CIF₁=300 д.е., CIF₂=500 д.е., COF₁=0 д.е., COF₂=0 д.е.;

I₀=400 д.е., r=0,3;

.

PI>1, следовательно проект принимается. Можно сделать вывод, что на 1 д.е. приведенных инвестиций приходится 1,32 д.е. приведенных поступлений от реализации проекта.

Сравнение методов оценки эффективности инвестиционных проектов NPV и IRR.

1. Показатель NPV является абсолютной величиной и измеряется в денежных единицах. Поэтому если инвестиционный проект должен обеспечить как можно большую массу дохода, для оценки его эффективности используют метод NPV.

2. Для расчета величины NPV необходима ставка дисконтирования, которая отражает экономическую ситуацию (инфляцию, риск и банковский процент). Определение ставки дисконтирования представляет довольно сложную задачу.

3. Для расчета величины IRR не требуется ставка дисконтирования.

4. Показатель IRR является относительной величиной, измеряется в процентах, поэтому более удобен для интерпретации и сравнения.

5. Показатель IRR можно интерпретировать следующим образом:

а) IRR можно рассматривать в качестве максимальной платы за источники финансирования проекта;

б) IRR можно трактовать как нижний уровень прибыльности инвестиционных затрат.

6. К недостаткам метода IRR следует отнести трудности, связанные с вычислением показателя IRR, с существованием нескольких значений IRR, или с их отсутствием (уравнение (9.2.3) может иметь несколько решений, а может не иметь их вовсе). В случае существования нескольких значений IRR принято выбирать наименьшее.

7. Если свободные денежные потоки неотрицательны (FCF_t≥0, ), то легко доказать, что NPV≥0 тогда и только тогда, когда IRR≥ r.

Учет инфляции при анализе эффективности инвестиционных проектов. В процентную ставку, указанную в контрактах, участники финансового рынка включают поправку на инфляцию. Такая процентная ставка называется номинальной. Процентная ставка, очищенная от инфляции, называется реальной. Как было показано выше связь между номинальной и реальной процентными ставками выражается формулой:

(34)

где h – темп инфляции.

Влияние инфляции при оценке эффективности инвестиционных проектов может учитываться двумя способами. Первый способ состоит в том, что прогноз денежных потоков осуществляется в постоянных ценах, т.е. без поправки на инфляцию, соответственно из ставки дисконтирования так же исключается инфляционная премия. В соответствии со вторым способом денежные потоки корректируют на темпы инфляции, т.е. расчеты ведутся в текущих ценах, а ставку дисконтирования оставляют номинальной.

Пример 16.25. Пусть в примере 21 известен годовой темп инфляции, который составляет 15 %, а денежные потоки спрогнозированы в текущих ценах. Найти реальную внутреннюю норму доходности проекта.

Решение. Если денежные потоки спрогнозированы в текущих ценах, то внутренняя норма доходности, рассчитанная в примере 23 является номинальной. Чтобы очистить ее от инфляции и получить реальную внутреннюю норму доходности, воспользуемся формулой (16.34)

.

Т.о. реальная внутренняя норма доходности в проекте из примера 21 при годовом темпе инфляции 15 % составляет 35 %.

Модель оптимального выбора инвестиционных проектов с учетом дополнительных ограничений. Пусть инвестор рассматривает m инвестиционных проектов одинаковой продолжительности. Каждый из проектов требует первоначальных инвестиций I_0i и имеет чистую текущую стоимость NPV_i, . Инвестиционные возможности инвестора ограничены суммой I₀. Кроме финансовых, инвестиционные проекты требуют и других ресурсов, объемы которых ограничены. Обозначим через a_ij – количество ресурса i-го вида, необходимое для проекта j; ; а через a_0i – общий объем ресурса вида i, имеющийся в наличии. Необходимо выбрать проекты таким образом, чтобы уложиться в имеющиеся ресурсы и чтобы сумма чистых текущих стоимостей проектов была максимальной.

Запишем математическую модель этой задачи. Пусть переменная описывает j-ый проект. Определим ее следующим образом:

Тогда функция, выражающая суммарную текущую стоимость проектов, будет иметь вид:

;

ограничения по первоначальным инвестициям запишется следующим образом:

,

а по другим ресурсам

.

В итоге, имеем модель оптимального выбора инвестиционных проектов с учетом дополнительных ограничений:

Иногда проекты взаимосвязаны друг с другом. Например, из двух проектов может быть выбран только один. Это условие описывается неравенством

.

Или пусть проект j₁ может быть принят лишь в том случае, когда будет принят проект j₂. Тогда в модель следует добавить неравенство

.

Или же из двух проектов j₁ и j₂ должен быть принят хотя бы один. Неравенство будет иметь вид:

.

Пример 16.26. Компания намеревается расширить сеть своих магазинов. Соответственно имеется 4 проекта строительства магазинов в 4-х районах города. Чистые текущие стоимости проектов составляют соответственно 600, 450, 560, 540 д.е. Первоначальные инвестиции в каждой из проектов равны 1600, 1500, 1800, 1400 д.е., а всего компания собирается инвестировать в новые магазины 5500 д.е. Для строительства магазинов необходимы участки площадью 1,3; 0,9; 1,2; 1,1 га соответственно. Город не может выделить компании больше 3,5 га земли. Кроме того участки земли, предусмотренные для реализации 1-го и 2-го проектов, располагаются слишком близко друг от друга. Поэтому одновременное строительство магазинов по первому и второму проектам нецелесообразно. Выбрать проекты для строительства магазинов.

Решение. Введем переменные:

Тогда суммарная текущая стоимость проектов опишется функцией

;

ограничение по первоначальным инвестициям будет иметь вид:

;

ограничение по земельным участкам запишется в идее

;

невозможность одновременного строительства магазинов по первому и второму проекту выразим неравенством

.

Получим задачу:

В результате решения задачи в среде MS Excel с помощью программы «Поиск решений» имеем х₁=0, х₂=1, х₃=1, х₄=1. Таким образом, чтобы компания получила максимальную суммарную чистую текущую стоимость в результате реализации проектов, и при этом были выполнены ограничения, сформулированные в задаче, ей необходимо выбрать второй, третий и четвертый проекты.

Индивидуальное задание по теме «Модели финансовых расчетов»

Некоторый инвестиционный проект рассчитан на 2 года. Известна величина инвестиций в начале первого года (I₀) и в начале всех последующих лет COF_t д.е. Денежные поступления от проекта по годам составляют CIF_t д.е. Банковская процентная ставка равна r %.

Необходимо

1. Рассчитать текущую стоимость (PV) и чистую текущую стоимость (NPV) проекта и дать экономическую интерпретацию этих показателей.

2. Найти внутреннюю норму доходности (IRR) инвестиционного проекта и дать ее экономическую интерпретацию.

3. Определить индекс рентабельности проекта и дать его экономическую интерпретацию.

4. Найти реальную внутреннюю норму доходности (i_r) проекта при известном годовом темпе инфляции h % .

Вариант, №	I0	COF1	COF2	CIF1	CIF2	r, %.	h, %
1	300	50	0	250	300	21	10
2	200	70	20	200	250	23	12
3	400	50	0	280	290	21	9
4	270	60	10	0	450	21	10
5	200	0	0	180	230	21	11
6	200	0	70	190	250	25	10
7	310	0	30	300	250	30	12
8	300	50	0	250	250	18	10
9	300	50	0	250	300	21	10
10	400	100	20	0	900	22	16
11	7000	1000	0	1500	9000	21	10
12	1700	0	500	600	1800	21	10
13	1900	800	0	2000	2000	24	12
14	2000	0	0	1500	1500	17	6
15	300	50	0	250	300	20	10
16	300	300	300	700	700	25	10
17	300	0	200	300	300	23	10
18	300	50	0	250	300	20	10
19	1400	0	0	1000	1400	20	10
20	280	0	40	200	300	18	9
21	5000	1000	0	3000	9000	22	14
22	5800	0	1000	4000	5500	20	10
23	2500	250	150	3000	3000	22	10
24	90	0	0	50	110	24	7
25	3100	0	0	2500	2000	24	14
26	2600	200	100	1200	3500	20	10
27	1000	400	0	500	1300	20	10
28	130	0	20	90	100	20	10
29	140	0	0	70	190	20	10
30	120	10	10	160	100	24	11