Модели финансовых расчетов

При проведении финансовых операций часто возникает необходимость в расчетах некоторых величин, их анализе и сравнении. Так, например, при выдаче кредита необходимо рассчитать сумму к погашению, сумму процентов, периодические выплаты для различных условий кредитования. Анализируя инвестиционные проекты, приходится сравнивать денежные потоки, возникающие в различные моменты времени. Для такого сравнения используется техника дисконтирования, позволяющая учесть инфляцию, банковскую процентную ставку и риск. При изменении условии контрактов (сроков, процентных ставок, периодов выплат) расчеты должны производиться на основе принципа эквивалентности платежей. Измеряя доходность финансовых операций, следует учитывать влияние инфляции.

Простой процент. Простые проценты используют для краткосрочных финансовых операций или в том случае, когда проценты выплачиваются, а не присоединяются к сумме долга.

Введем обозначения. Через I обозначим проценты за весь срок ссуды, через Р – первоначальную сумму долга, через S – сумму с накопленными процентами (наращенную сумму), через i – процентную ставку, через n – срок ссуды. Пусть процентная ставка i выражается десятичной дробью. Если срок ссуды измеряется в годах, то процентную ставку i называют годовой процентной ставкой. Начисленные за год проценты в наших обозначениях будут равны Pi, а за весь срок – nPi, т.е. I=nPi, тогда наращенная сумма S будет равна

(1)

Формулу (16.1) называют формулой простых процентов. Множитель (1+ni) называют множителем наращения по простым процентам.

Предположим, что процентная ставка или срок увеличился в k раз, тогда , и множитель наращения увеличился в раз.

Пример 16.1. Кредит в размере 600 д. е. выдан на срок 4 года под ставку простых процентов – 30 % годовых (i=0,3). Определить сумму накопленного долга и сумму процентов.

Решение.

д.е.

д.е.

Пример 16.2. Процентная ставка увеличилась в 2 раза. Во сколько раз увеличится сумма долга?

Решение.

Сумма долга увеличится в раз.

Если срок ссуды n не равен целому числу лет, то он выражается в виде дроби

, (2)

где t – число дней ссуды, К – число дней в году, называемое временной базой начисления процентов. K может быть равным либо 360, либо 365, либо 366 дней. Если К=360, то говорят, что рассчитывают коммерческие или обыкновенные проценты. Если К=365V366, то рассчитывают точные проценты.

Число дней ссуды могут рассчитывать приближенно и точно. В приближенном случае число дней каждого месяца считают равным 30 дней. Точное число дней ссуды равно числу дней между датой выдачи и датой погашения + 1 день. Таким образом, простые проценты рассчитываются тремя способами:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды, что обозначается 365/365 или АСТ/АСТ.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды – 365/360 или АСТ/360.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды – 360/360.

Пример 16.3. Кредит в размере 2 млн. д. е. выдан 05.03 по 28.06 включительно под 20 % годовых. Определить, какую сумму должен выплатить кредитополучатель при начислении простых процентов.

Решение. Определим срок ссуды t:

точное число дней 115;

приближенное число дней 113.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

млн. д. е.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360)

млн. д. е.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

млн. д. е.

Дисконтирование по простым процентным ставкам. В финансово-банковском деле часто приходится решать задачи обратные задачам наращения процентов: какой должна быть исходная сумма Р, если через время необходимо уплатить сумму S. Такая ситуация возникает как при разработке различных контактов и проектов, так и при учете платежных обязательств, например, банковских векселей. В зависимости от этих двух ситуаций различают математическое дисконтирование и банковский учет.

Математическое дисконтирование. Математическое дисконтирование представляет собой решение следующей задачи: чему равна первоначальная сумма Р, которая будучи положенной в банк на срок n под процентную ставку i, даст сумму S. Из формулы (16.1) имеем

(3)

Величину Р называют текущей или современной величиной – present value (PV), S – будущей величиной – future value (FV), дробь – дисконтным множителем.

Пример 16.4. Кредит выдан на 150 дней под 30 % годовых. В конце срока кредитополучатель должен уплатить 300 тыс. д.е. Какова сумма кредита. Использовать способ 365/365.

Решение.

тыс. д.е.

Таким образом, сумма кредита составила 267,073 д.е.

Банковский учет. Пусть S – сумма, указанная на платежном обязательстве. Банк приобретает это платежное обязательство у его владельца до наступления срока платежа по цене Р, меньшей суммы S (учитывает его с дисконтом). При наступлении срока платежа банк получает сумму S, указанную на платежном обязательстве. Разность S-P называют дисконтом. Для расчета дисконта используется учетная ставка d, проценты начисляются на сумму S:

,

откуда

, (16.4)

где n – срок от даты учета платежного обязательства до даты его погашения. Таким образом, в случае банковского учета дисконтный множитель равен .

Пример 16.5. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. д.е. с уплатой 17.11.20хх г. Владелец векселя учел его в банке 24.09.20хх г. по учетной ставке 20 % (365/360). Рассчитать полученную владельцем сумму и дисконт.

Решение. Период от дня учета до дня погашения равен 55 дням. Тогда , воспользуемся формулой 16.4, получим

д.е.

д.е.

Таким образом, владелец векселя получит 969444,4 д.е., а доход банка составит 30555,6 д.е.

Сложный процент. Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме долга (капитализируются), то говорят о сложных процентах.

Выведем формулу сложных процентов для случая, когда срок ссуды n – целое число лет. Пусть, как и ранее, Р – первоначальная сумма долга, S - наращенная к концу срока сумма, n – срок ссуды, i – годовая процентная ставка в десятичных дробях. Тогда

Pi – проценты за первый год,

- наращенная сумма в конце первого года;

- проценты за второй год;

- наращенная сумма в конце второго года;

и т.д.

- наращенная сумма в конце n-ного года, таким образом

(5)

Сложные проценты за n лет составят

(6)

Пример 16.6. Вклад, равный 2 млн. д.е. был положен в банк на 6 лет под сложную ставку процента 20 % годовых. Какую сумму получит клиент в конце срока?

Решение. Воспользуемся формулой (16.5):

д.е.

В конце срока клиент получит 5971968 д.е.

Переменная процентная ставка. Если процентная ставка на протяжении срока начисления процентов меняется, то наращенную сумму можно рассчитать по формуле

, (7)

где - процентные ставки, - продолжительность 1-го, 2-го, …, к-го периодов соответственно.

Пример 16.7. Срок кредита 6 лет. В договоре указано, что базовая процентная ставка составляет 20 % годовых. К ней каждый год добавляется маржа 1 %. Определить множитель наращения.

Решение. Из формулы (16.7) следует, что множитель наращения будет равен

.

Дробное число лет. Пусть срок в годах n не является целым числом. В этом случае для начисления процентов применяют два метода: общий и смешанный. Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов, а за дробную часть срока – по формуле простых процентов:

, (8)

где , где , а .

Согласно общему методу расчет производят по формуле (16.5), где n – дробное число.

Пример 16.8. Кредит 2 млн. д.е. выдан на 2 года и 200 дней под 18 % сложных годовых процентов. Определить сумму долга с процентами двумя методами: общим и смешанным (365/360).

Решение. Общий метод:

;

д.е.

Смешанный метод:

д.е.

Т.о. сумма долга, рассчитанная общим методом, составит 3053013,88 д.е., а смешанным – 3063282,2 д.е.

Наращение процентов m раз в год. Пусть проценты начисляются m раз в год по годовой процентной ставке j. Тогда число периодов начисления будет равно , а процентная ставка за период – j/m.

Воспользуемся формулой (9.1.5), получим

(9)

Годовую процентную ставку j при этом называют номинальной.

Пример 16.9. Пусть вклад 2 млн д.е. положен на 3 года под сложную годовую процентную ставку 16 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. Рассчитать наращенную сумму.

Решение.

д.е.

Наращенная сумма составит 3202064,44 д.е.

Эффективная ставка. Эффективная ставка – это такая годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и начисление сложных процентов m раз в год по ставке j/m. Обозначим эффективную ставку через i^ЭФ. Тогда из ее определения следует

,

,

(10)

Пример 16.10. Рассчитать эффективную процентную ставку для операции ежемесячного начисления сложных процентов при номинальной ставке 30 % годовых.

Решение. Воспользуемся формулой (16.10):

.

Таким образом, применение годовой процентной ставки 34,49 % при начислении процентов раз в год даст тот же результат, что и ежемесячное начисление по сложной годовой процентной ставке 25 %.

Непрерывное наращение процентов. Непрерывное наращение процентов представляет собой наращение за бесконечно малые отрезки времени, тогда наращенная сумма при непрерывном наращении процентов находится следующим образом:

, (11)

где e – основание натуральных логарифмов. Чтобы отличить непрерывную процентную ставку от дискретной, ее обозначают δ и называют силой роста, тогда

(12)

Пример 16.11. На сумму 3 млн. д.е. начисляют непрерывные проценты с силой роста 10 %, срок начисления 4 года. Найти наращенную сумму.

Решение.

Воспользуемся формулой 16.2:

д.е.

Наращенная сумма составит 4475474 д.е.

Эквивалентные процентные ставки. Процентные ставки называются эквивалентными, если они при одинаковых начальных суммах приводят к одинаковым наращенным суммам. Отсюда следует, что для определения эквивалентных процентных ставок необходимо приравнять множители наращения.

Найдем соотношение эквивалентности между простой и сложной (i) процентными ставками:

;

; (13)

. (14)

Соотношения эквивалентности между простой процентной ставкой и процентной ставкой j, начисляемой m раз в год, будут следующие

;

; (15)

(16)

Для сложных дискретных и непрерывных процентных ставок соотношения эквивалентности будут иметь вид:

;

; (17)

. (18)

Пример 16.12. Период начисления процентов по годовой сложной ставке 20 % равен 3 года. Найти эквивалентные простую и непрерывную ставки процента.

Решение. Воспользуемся формулами (16.13) и (16.17).

;

.

Дисконтирование по сложной ставке процента. В начале раздела 16.1 мы рассматривали дисконтирование по простым процентам. В финансовом анализе чаще используется дисконтирование по сложным процентам. Операция дисконтирования заключается в определении первоначальной суммы Р (современной, текущей стоимости) по будущей (наращенной) сумме S. Вспомним, что наращенная сумма по сложным процентам определяется следующим образом

,

тогда

. (19)

Множитель называют дисконтным множителем.

Пример 16.13. Через 6 лет клиенту выплачивается сумма 5 млн д.е. Какова ее современная (текущая) стоимость, если применяется ставка сложных процентов, равная 20 % годовых.

Решение. Используем формулу (16.19)

д.е.

Современная стоимость суммы 5 млн. д.е., выплачиваемой через 6 лет при применении сложной процентной ставки 20 % годовых составит 1674489,88 д.е.

Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей. На практике часто возникают случаи, когда одно денежное обязательство необходимо заменить другим или объединить несколько платежей в один. Такие замены основываются на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств состоит в следующем: две суммы S₁ и S₂, выплачиваемые в различные моменты времени считаются эквивалентными, если их величины, приведенные к одному и тому же моменту времени по одной и той же процентной ставке, равны.

Приведение к более ранней дате осуществляется путем дисконтирования, к более поздней – путем наращения.

Пример 16.14. У клиента банка есть кредит 450000 д.е., который он должен погасить через 5 месяцев. Клиент заинтересован в отсрочке платежа. Банк предлагает ему выплатить 500000 д.е. через 9 месяцев. Является ли это предложение равноценным, если используется процентная ставка 20 % годовых?

Решение. Приведем оба платежа к настоящему моменту времени. По условию примера

,

д.е.,

д.е.

Таким образом, предложение банка при выбранной ставке процента не является эквивалентным. Оно не выгодно для клиента.

Применим принцип финансовой эквивалентности в случае консолидации платежей.

Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме S₀ и сроком n₀. Если задается срок n₀, то находится сумма S₀, и наоборот.

Рассмотрим первую задачу и пусть . Обозначим через S_j платежи со сроком , а через S_k – платежи со сроком , .

Запишем уравнения эквивалентности для простых и сложных процентов, приведя все платежи к моменту n₀. Для краткосрочных обязательств используются простые проценты:

(20)

Для долгосрочных обязательств используются сложные проценты:

(21)

Пример 16.15. Клиент должен погасить две задолженности в 0,8 млн. д.е. и 0,5 млн. д.е. через 140 и 170 дней соответственно. Банк соглашается объединить платежи и пролонгировать срок до 200 дней. Какой будет консолидированная сумма задолженности S₀, если используется простая процентная ставка 20 % годовых (365/365).

Решение. Воспользуемся формулой (16.20):

д.е.

Т.о. через 200 дней клиент должен будет заплатить 1334520,6 д.е.

Пример 16.16. Кредиты 2 млн. д.е. и 3 млн. д.е. со сроками до погашения 2 и 3 года соответственно объединяются в один со сроком до погашения 2,6 года. При консолидации используется сложная ставка 20 % годовых. Какой будет консолидированная сумма задолженности S₀?

Решение. Воспользуемся формулой (16.21):

Консолидированная сумма задолженности будет равна 5020202,794 д.е.

Пример 16.17. Существует обязательство уплатить 1000000 д.е. через 4 года. Стороны согласились изменить условия договора: клиент должен выплатить 200000 д.е. через год, а оставшийся долг через 4 года после первой выплаты. Чему равен оставшийся долг, если используется сложная ставка 20 % годовых.

Решение. Составим уравнение эквивалентности, приведя все платежи к начальной дате:

.

Домножим обе части уравнения на :

.

Получили уравнение эквивалентности, в котором все платежи приведены к пятому году, т.е. выбор даты приведения не влияет на результат вычислений. Из последнего уравнения получим

д.е.

Оставшийся долг составит 785280 д.е.

Учет инфляции при измерении доходности финансовых операций. Обозначим через J_p – индекс цен, и через J_c – индекс покупательной способности за некоторый период. Индекс цен показывает, во сколько раз изменились цены на товары, а индекс покупательной способности показывает, во сколько раз изменилась покупательная способность за рассматриваемый период. Очевидно, что эти индексы связаны равенством.

(22)

Темпом инфляции называют относительный прирост цен за период в процентах. Обозначим через h темп инфляции. Легко показать, что темп инфляции и индекс цен связаны следующими равенствами:

, (23)

. (24)

Пример 16.18. Пусть за рассматриваемый период цены увеличились в 1,5 раза, т.е. индекс цен J_p =1,5. Определить индекс покупательной способности и темп инфляции.

Решение. Покупательная способность изменилась в раз, а темп инфляции составил .

Далее обозначим через J_pt – индекс цен в периоде t, h_t – темп инфляции в периоде t, . Так же легко показать, что индекс цен J_p за n периодов будет равен:

. (16.25)

Пример 16.19. Пусть темп инфляций за первый месяц составил 3 %, за второй – 4 %, за третий – 3 %. Определить индекс цен и темп инфляции за период 3 месяца.

Решение.

По условию задачи h₁=3 %, h₂=4 %, h₃=3 %, тогда по формуле (16.24) ; ; ; а по формуле (16.25) .

Используя формулу (16.23), получим

,

т.е. за три месяца цены выросли в 1,1033 раза, а темп инфляции составил 10,33 %.

Замечание16.1. Если темп инфляции измеряется в долях единицы, то формулы (16.23), (16.24), (16.25) будут иметь вид

, (23’)

, (24’)

. (25’)

Пусть, как и ранее S – наращенная за n периодов сумма. Обозначим через С сумму, учитывающую обесценение денег за это время.

,

тогда для простой ставки процента

, (26)

а для сложной ставки процента

. (27)

Из формулы (16.27) для случая сложных процентов можно сделать следующие выводы:

,

,

.

Если , то имеет место эрозия капитала, если - реальное накопление. Ставку сложных процентов называют положительной.

Процентная ставка, которая указывается в финансовых контрактах, называется номинальной. Для определения реальной доходности, реальной процентной ставки воспользуемся формулами (16.26), (16.27).

Для простых процентов:

,

или

. (28)

Для сложных процентов:

,

или

. (29)

Если инфляция измеряется в долях единицы, то формулы (28), (29) будут иметь вид:

, (27’)

(28’)

Пример 16.20. Пусть вклад был положен на 4 года под сложную ставку 30 % годовых. Индекс цен за этот период составил 2,4. Какова реальная доходность данной финансовой операции?

Решение.

;

.

Реальная доходность финансовой операции составила 4,445 %.