5. Моделирование сезонных колебаний
Аддитивной моделью временного ряда называется модель, в которой каждый уровень ряда представлен суммой тренда, сезонной и случайной компоненты:
.
Мультипликативная модель – это модель, в которой каждый уровень ряда представляет собой произведение перечисленных компонент:
.
Модель смешанного типа имеет вид
.
Выбор одной из моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если амплитуда колебаний возрастает или убывает, то строят мультипликативную модель.
Построение аддитивной и мультипликативной тренд-сезонной модели включает следующие шаги.
1. Построить график динамики уровней ряда и коррелограмму и убедиться в наличии сезонной компоненты.
2. Произвести выравнивание исходного ряда методом скользящей средней и оценку сезонной компоненты. Оценка сезонной компоненты производится путем вычитания из фактических уровней ряда центрированных скользящих средних (для аддитивной модели) или делением фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (для мультипликативной модели).
3.
Произвести расчет сезонной компоненты
.
Найти среднее значение сезонной
компоненты
и
скорректировать его.
4.
Устранить сезонную компоненту из
исходных уровней ряда: для аддитивной
модели
,
для мультипликативной -
.
5. Произвести аналитическое выравнивание десезонолизированного временного ряда и расчет значений Tt с использованием полученного уравнения тренда.
6.
Рассчитать полученные по модели
значения
или
.
7. Рассчитать абсолютные и/или относительные ошибки.
Пример 4. Изучить динамику объема продаж по 11 кварталов. И оценить уровень и структуру потребления на следующий квартал
Таблица 7
Квартал (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Объем продаж (yt) |
64 |
75 |
81 |
110 |
66 |
77 |
91 |
120 |
68 |
78 |
92 |
Решение. Для выявления структуры ряда построим график ряда и коррелограмму.
Рис.7. График временного ряда для данных примера
Анализ графика временного ряда говорит о наличии сезонной компоненты. Амплитуда колебаний увеличивается, поэтому следует строить мультипликативную модель.
Рис.8. Коррелограмма для данных примера
Анализ коррелограммы подтверждает вывод о сезонных колебаниях с периодичностью 4 квартала.
Проведем сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания, равным 4.
Таблица 8. Расчет оценок сезонной компоненты
-
Номер периода (t)
Объем продаж (yt)
Центрированная скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
1
64
-
2
75
-
3
81
82,75
0,98=81/82.75
4
110
83,25
1,32=110/83.25
5
66
84,75
0,78
6
77
87,25
0,88
7
91
88,75
1,03
8
120
89,13
1,35
9
68
89,38
0,76
10
78
11
92
Рис.9. График динамики исходного и сглаженного временного ряда
Таблица 9. Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели.
Квартал |
Год |
Среднее,
|
Сезонная компонента, |
||
1 |
2 |
3 |
|||
1 |
- |
0,7788 |
0,7608 |
0,7698 |
0,7721 |
2 |
- |
0,8825 |
- |
0,8825 |
0,8851 |
3 |
0,9789 |
1,0254 |
- |
1,0021 |
1,0050 |
4 |
1,3213 |
1,3464 |
- |
1,3339 |
1,3378 |
Сумма |
3,9883 |
4,0000 |
|||
Корректирующий коэффициент |
1,0029 |
|
|||
Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается тем, что сумма значений всех сезонных компонент периода должна быть равна длине периода в цикле в нашем примере число периодов (кварталов) в цикле (году) равно 4.
Первый
способ.
Корректирующий коэффициент определяется
как
.
Скорректированные сезонные компоненты
.
Второй
способ.
Корректирующий коэффициент и сезонные
компоненты определяются как
;
Рассчитаем
корректирующий коэффициент вторым
способом.
.
Для первого квартала значение сезонной
компоненты
.
Аналогично определяются остальные
значения сезонных компонент.
Уравнение трендовой компоненты ряда имеет вид
Выявим наличие или отсутствие автокорреляции. Для этого составим таблицу.
Таблица 10. Расчет
выравненных значений
и ошибок
в мультипликативной модели
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
64 |
0,7721 |
81,93 |
63,26 |
0,74 |
|
0,54 |
2 |
75 |
0,8851 |
82,84 |
73,32 |
1,68 |
0,89 |
2,82 |
3 |
81 |
1,005 |
83,74 |
84,16 |
-3,16 |
23,42 |
9,97 |
4 |
110 |
1,3378 |
84,64 |
113,23 |
-3,23 |
0,01 |
10,46 |
5 |
66 |
0,7721 |
85,54 |
66,05 |
-0,05 |
10,15 |
0,00 |
6 |
77 |
0,8851 |
86,45 |
76,51 |
0,49 |
0,29 |
0,24 |
7 |
91 |
1,005 |
87,35 |
87,79 |
3,21 |
7,44 |
10,33 |
8 |
120 |
1,3378 |
88,25 |
118,06 |
1,94 |
1,63 |
3,75 |
9 |
68 |
0,7721 |
89,15 |
68,84 |
-0,84 |
7,69 |
0,70 |
10 |
78 |
0,8851 |
90,06 |
79,71 |
-1,71 |
0,76 |
2,92 |
11 |
92 |
1,005 |
90,96 |
91,41 |
0,59 |
5,27 |
0,34 |
|
|
|
|
|
|
57,54 |
41,54 |
Значение статистики Дарбина-Уосона
;
По таблице определены критические точки
, следовательно,
автокорреляция остатков отсутствует.
Прогнозные значения объемов продаж за следующие два квартала
;
.
В
течение следующих двух кварталов
объем продаж составит
.