3.Выявление наличия автокорреляции

Третья предпосылка регрессионного анализа гласит: случайные члены ε_i теоретической регрессии должны быть независимы друг от друга. Нарушением третьей предпосылки является автокорреляция (последовательная корреляция) - зависимость текущего значения случайного члена от непосредственно предшествующего значения. Автокорреляция остатков обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции является критерий Дарбина-Уотсона. Наличие или отсутствие автокорреляции проверяют с помощью статистики Дарбина-Уотсона

.

Критерий и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

.

При ;

;

.

Следовательно, значение статистики . Можно показать, что необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина-Уотсона.

Общая схема применения критерия Дарбина-Уотсона следующая:

1) По построенному эмпирическому уравнению регрессии определяются значения отклонений для каждого наблюдения t.

2) Рассчитывается статистика Дарбина-Уотсона.

3) Для того чтобы определить, какие значения можно считать статистически близкими к двум, по таблице распределения статистики DW на основании уровня значимости α, объема выборки n и числа объясняющих переменных m находят критические точки и . d₁ – нижняя граница (low), d_u - верхняя (upper). Эти точки разбивают отрезок (0; 4) на 5 зон как показано на рисунке 6.

Зона неопреде-ленности

Зона неопреде-ленности

Отрицательная автокорреляция

остатков

Отсутствие автокорреляции

Положительная автокорреляция

остатков

2

0

d_l

d_u

4 – d_u

4 –d_l

4

Рис.6. Интервал значений статистики Дарбина-Уотсона

Выводы осуществляются по правилу;

- если 0<DW<d_l, то с вероятностью (1-α) положительная автокорреляция имеет место_,

- если d_l<DW<d_u , вывод о наличии автокорреляции не определен,

- если d_u<DW<4-d_u, то с вероятностью (1- α) автокорреляция отсутствует;

- если 4-d_u<DW<4-d_l, вывод о наличии автокорреляции не определен;

- если 4-d_l<DW<4, то с вероятностью (1- α) имеет место отрицательная автокорреляция.

Пример 3. Емкость рынка бытовой техники за несколько лет приведена в таблице.

Таблица 4. Исходные данные

№ наблюдения i	Номер года	Емкость рынка
1	1	6,1
2	2	7,2
3	3	8,2
4	4	9,4
5	5	10,8

Требуется оценить параметры линейного тренда и оценить качество модели.

Решение. В результате работы программы Регрессия пакета Анализ данных получены таблицы.

Рис. 7. Таблицы протокола работы программы Регрессия.

Выпишем уравнение регрессии и наиболее важные его характеристики.

Для вычисления значения статистики Дарбина-Уотсона была составлена таблица.

Таблица 5.

1	6,1	6,02	0,08			0,0064
2	7,2	7,18	0,02	0,08	0,0036	0,0004
3	8,2	8,34	-0,14	0,02	0,0256	0,0196
4	9,4	9,5	-0,1	-0,14	0,0016	0,01
5	10,8	10,66	0,14	-0,1	0,0576	0,0196
					0,0884	0,056

Значение критерия (статистики) Дарбина-Уотсона

Таблица 6. Значения статистик Дарбина-Уотсона при 5%-м уровне значимости.

n	m = 1		m = 2		m = 3		m = 4		m = 5
	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
6	0,61	1,40
7	0,70	1,36	0,47	1,90
8	0,76	1,33	0,56	1,78	0,37	2,29
9	0,82	1,32	0,63	1,70	0,46	2,13
10	0,88	1,32	0,70	1,64	0,53	2,02
11	0,93	1,32	0,66	1,60	0,60	1,93
12	0,97	1,33	0,81	1,58	0,66	1,86
13	1,01	1,34	0,86	1,56	0,72	1,82
14	1,05	1,35	0,91	1,55	0,77	1,78
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
16	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,90	1,71	0,78	1,90	0,67	2,10
18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
19	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68	0,86	1,85	0,75	2,02
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
26	1,30	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
27	1,32	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	1,86
28	1,33	1,48	1,26	1,56	1,18	1,65	1,10	1,75	1,03	1,85
29	1,34	1,48	1,27	1,56	1,20	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83

m – количество независимых переменных, n – количество наблюдений.

По таблице 6 определены критические точки

; . Причем . Поскольку значение статистики Дарбина-Уотсона , автокорреляция отсутствует.