Моделирование одномерных временных рядов

Вопросы:

1. Основные элементы временного ряда

2. Автокорреляция временного ряда и выявление его структуры

3. Выявление наличия автокорреляции

4. Моделирование сезонных колебаний

1. Основные элементы временного ряда

Статистические методы прогнозирования опираются на анализ временных рядов.

Временные ряды представляют собой совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Составляющие временного ряда (отдельные наблюдения) называют уровнями ряда. Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней . Момент (или период) времени обозначают t.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно разделить на 3 группы:

длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда – тренд .

кратковременные периодические факторы, формирующие сезонные колебания ряда .

случайны факторы, которые формируют случайные изменения уровней ряда ε(t).

Случайная компонента – это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент.

Основная задача эконометрического исследования временного ряда – выявить каждую из перечисленных компонент ряда.

2. Автокорреляция временного ряда и выявление его структуры

Чтобы проанализировать поведение временного ряда, в первую очередь строят его график, т.е. осуществляют визуальный анализ.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда. Количественно ее можно оценить с помощью коэффициентов парной линейной корреляции, причем между данными одного ряда, сдвинутыми относительно друг друга. Одна из модификаций формулы

Обозначим и , тогда коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле

.

Для определения коэффициента автокорреляции второго порядка обозначим

и .

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1-го, 2-го и последующих порядков называется автокорреляционной функцией. Графическое ее представление называется коррелограммой. Значения корреляционной функции могут колебаться от -1 до 1. Анализ коррелограммы позволяет оценить структуру временного ряда: наличие тренда и сезонной компоненты. Высокие коэффициенты автокорреляции первых порядков указывает на наличие линейного тренда. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, то можно предположить, что ряд содержит сезонные колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов не является высоким, то либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.

Максимальный порядок коэффициента корреляции равен n/4. В EXCEL для расчета коэффициента корреляции существует функция КОРРЕЛ.

Пример 1. Построить коррелограмму по данным об объеме продаж продукции за 11 месяцев приведены в таблице.

Таблица 1. Данные временного ряда

Номер месяца	Объем продаж, тыс. ден. ед.
1	4
2	6
3	4
4	5
5	10
6	8
7	7
8	9
9	12
10	14
11	15

Решение. График временного ряда приведен на рисунке.

Рис.1. График временного ряда объема продаж

Построим автокорреляционную функцию, используя таблицу.

Таблица 2. Данные временного ряда для построения

коэффициентов автокорреляции

t
1	4
2	6	4
3	4	6	4
4	5	4	6	4
5	10	5	4	6	4
6	8	10	5	4	6	4
7	7	8	10	5	4	6
8	9	7	8	10	5	4
9	12	9	7	8	10	5
10	14	12	9	7	8	10
11	15	14	12	9	7	8

Рис.2. Коррелограмма временного ряда

Коэффициент автокорреляции первого порядка , поэтому можно сделать предположение о наличии линейного тренда.

Для выявления структуры временного ряда или его выравнивания применяются различные методы: метод аналитического выравнивания, метод укрупнения интервалов, метод простой скользящей средней.

Метод укрупнения интервалов. Если известны данные по месяцам или дням и не понятно, как ведет себя ряд, можно укрупнить период до года, например.

Метод простой скользящей средней заключается в том, что рассматривается средний уровень из определенного числа первых значений временного ряда. Затем для такого же числа значений, начиная со второго наблюдения и т.д.

При нечетном значении l уровней ряда в интервале сглаживания скользящая средняя может быть определена по формуле

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания равной 4 или 12, при этом не будет выполняться условие нечетности. Формула для определения скользящей средней при четном значении l уровней ряда в интервале сглаживания имеет вид

Для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной динамики можно использовать 4-членную скользящую среднюю

.

Пример 2. Произведем сглаживание временного ряда примера 1 при количестве наблюдений, равном соответственно 3 и 4 .

Таблица 3. Применение метода простой скользящей средней

Номер месяца	Объем продаж, тыс. ден. ед.	Скользящая средняя при l=3	Скользящая средняя при l=4
1	4	-	-
2	6		-
3	4	5,0
4	5	6,33	6,5
5	10	7,67	7,125
6	8	8,33	8
7	7	8,00	8,75
8	9	9,33	9,75
9	12	11,67	11,5
10	14	13,67	-
11	15	-	-

Графики исходного ряда и сглаженного приведены на рисунках.

Рис.3. Графики исходного и сглаженного временнных рядов при l=3

Рис.4. Графики исходного и сглаженного временнных рядов при l=4

Рис.5. Графики исходного и сглаженного временных рядов при l=3 и l=4.

Чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный характер. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания.

Метод аналитического выравнивания. Исходные уровни временного ряда заменяются значениями, полученными из уравнения регрессии .

Виды моделей тренда:

линейный тренд ;

полиномиальный тренд ;

логарифмический ;

экспоненциальный ;

степенной ;

гиперболический .