3. Многопродуктовые (многономанклатурные) запасы.

Рассмотрим случай совместной поставки нескольких видов запасов из одного источника.

Издержки размещения заказа К считаем пропорциональными числу одновременно заказываемых продуктов , т.е. , где - фиксированные издержки, не зависящие от числа одновременно заказываемых продуктов и от величины партии поставок; - доля издержек, связанная с размещением заказа по каждому продукту. При таких обозначениях издержки размещения заказов и содержания запасов в единицу времени примут вид

.

Решив уравнение , получим оптимальный период совместного размещения всех продуктов

Величины оптимальных партий поставок можно вычислить по формуле

.

Минимальные затраты в единицу времени составят

.

Рассмотрим случай полного совмещения заказов с ограничениями. Пусть ограничение наложено на складские площади. Так как , то

. (5)

В случае ограничения на оборотные средства, вложенные в запасы, должно выполняться соотношение

.

Возьмем случай одного ограничения, например на складские площади. Задача решается по следующей схеме. Находим без учета ограничений. Если (5) при найденном выполняется, то задача решена. В противном случае период возобновления поставки должен ограничение (5) обратить в строгое равенство, т.е.

.

В случае ограничения только на оборотные средства

.

В случае же одновременного выполнения двух ограничений

.

Пример 4. Склад площадью 350м² используется для хранения сырья двух видов. Известен спрос , удельные издержки хранения в течение года, цена единицы сырья и площадь, необходимая для хранения единицы сырья .

Таблица 2

Годовой объем потребления	Удельные издержки содержания 1т в течение года	Расход площади на единицу сырья	Цена за единицу продукции, ден. ед.
2500	75	3	30
2000	20	2	18

Сырье поставляется из одного источника, стоимость одного заказа . Определить характеристики системы управления запасами, если оборотные средства не должны превышать 2700 ден.ед.

Решение. Определим оптимальный период возобновления поставок

Ему соответствуют оптимальные партии поставки сырья

,

.

Величина необходимых оборотных средств при оптимальном режиме работы системы составляет

, что превышает имеющиеся 2700 ден. ед.

Площадь, необходимая для хранения сырья

больше, чем 350 кв. м., имеющихся у предприятия. Оба ограничения являются существенными. Определим, при каком периоде возобновления поставок будут выполняться ограничения по оборотным средствам и площади.

.

Следовательно, период, при котором будут выполняться оба ограничения, равен . Соответствующие этому периоду партии равны

Затраты при такой системе

ден.ед.

При оптимальном режиме работы затраты будут меньше и составят

ден.ед

В случае поступления запасов из разных источников взаимодействие между ними происходит после поставки. Пусть имеется видов. Затраты

Решая систему уравнений получаем

Пусть оборотные средства составляют А ден. ед., а цена единицы продукции , тогда должно выполняться ограничение

,

где нормировочный множитель . При ограничении задается по среднему уровню запаса и поступление партий может происходить в разные моменты времени, при ограничение задается по максимальному уровню запаса, то есть, возможно одновременное поступление всех партий.

Аналогично записывается ограничение по величине складских площадей. Пусть пропускная способность склада составляют F кв. м., площадь, необходимая для хранения единицы ресурса , тогда должно выполняться ограничение

.

Таким образом, задача минимизации суммарных издержек при ограничении на величину оборотных средств и складских площадей имеет вид:

Пример 5. На склад поступает два вида товаров, для которых известен спрос и удельные издержки хранения в течение года, затраты на заказ партии и цена единицы товара .

Таблица 3.

Номер товара i	Годовой объем потребления	Удельные издержки хранения 1т в течение года	Затраты на заказ партии	Цена за единицу товара, ден. ед.
1	300	10	60	2
2	900	20	90	3

Определить величину партий, если величина оборотных средств составляет 145 ден.ед. и товары поступают в разное время (можно принять ).

Решение. Oпределим, какие средства необходимы для приобретения товаров, если заказывать оптимальные партии. Величина оптимальных партий составляет

;

.

Для закупки требуются оборотные средства

.

Следовательно, ограничение является существенным и нужно оптимальным образом уменьшить партии. Для этого нужно решить нелинейную оптимизационную задачу

Решение этой задачи, полученное в EXCEL с помощью программы Поиск решения

Заметим, что оптимальная величина затрат без ограничений на величину оборотных средств составит

Индивидуальные задания по теме «Управление запасами»

Задание 1.

Предприятию требуется сырье. Известны спрос и удельные издержки хранения в год, затраты на заказ партии , время доставки партии дней и величина начального запаса . По действующей системе управления запасами производится заказ . Необходимо определить оптимальную величину партии, время между заказами, точку заказа, и моменты подачи заказа. Рассчитать минимальные издержки в год, и сравнить их с издержками при действующей системе. Построить график динамики уровня запаса.

Исходные данные представлены в таблице.

Вариант
1	7000	14	350	14	400	150
2	1200	18	240	10	100	500
3	2500	14	180	12	300	100
4	3400	16	150	10	400	100
5	2700	9	120	19	200	130
6	2500	8	130	14	150	400
7	900	6	200	10	100	110
8	870	4	150	12	100	500
9	460	9	140	18	50	50
10	1000	12	130	19	200	100
11	6000	10	95	14	500	200
12	3400	30	180	10	120	350
13	700	12	100	12	70	150
14	3000	13	200	15	300	150
15	2500	11	150	19	180	450
16	3400	11	240	20	250	200
17	2700	9	180	21	200	300
18	2500	8	150	22	600	100
19	900	7	120	23	100	100
20	870	4	130	24	100	140
21	460	9	200	25	100	200
22	1000	12	95	26	200	300
23	6000	10	90	12	250	1000
24	3400	10	80	16	300	500
25	7000	11	100	16	500	700
26	6000	13	150	20	600	900
27	2500	20	300	25	200	250
28	3400	11	180	30	400	200
29	2700	4	150	33	500	400
30	2500	9	120	18	200	500

Задание 2

Предприятию требуется три вида сырья, для которых известен спрос и издержки хранения в единицу времени, затраты на заказ партии и цена единицы товара . Исходные данные представлены в таблице.

Требуется определить оптимальные партии поставок при ограничении на величину оборотных средств А и складcких площадей F, при условии, что все три вида сырья поступают из одного источника и затраты на

организацию заказа .

Вариант	F	A	Параметр	Сырье
				1	2	3
1	400	1500		80	90	60
				3	4	2
				14	16	17
				4	2	5
2	400	1000		70	50	80
				4	4	3
				10	16	12
				6	3	5
3	350	1200		50	70	60
				3	4	2
				14	16	17
				4	2	5
4	300	1500		90	70	60
				3	3	4
				14	18	16
				4	3	5
5	300	1000		50	70	100
				7	8	4
				14	18	16
				4	3	2
6	300	1000		70	70	90
				7	5	4
				14	10	18
				4	7	2
7	300	1700		120	40	50
				2	5	7
				20	25	30
				4	7	2
8	400	1700		100	40	50
				9	11	7
				10	12	15
				4	6	3
9	200	1700		200	70	80
				8	10	7
				14	12	14
				4	6	3
10	4520	1400		200	70	80
				8	10	7
				14	12	14
				4	6	3
11	400	1000		30	50	70
				4	3	2
				10	15	12
				5	3	5
12	200	1700		160	70	90
				8	10	7
				14	20	25
				4	6	3
13	200	1700		110	55	45
				8	10	11
				24	20	30
				4	3	4
14	360	1800		90	120	200
				8	10	11
				24	20	30
				4	3	4
15	280	1500		50	100	150
				8	12	10
				18	20	30
				5	3	4
16	280	1500		100	100	130
				12	9	10
				18	22	25
				5	4	4
17	280	500		20	120	70
				8	12	10
				9	7	5
				5	7	8
18	350	900		170	120	80
				12	8	10
				19	14	11
				6	7	5
19	250	900		150	70	30
				5	8	4
				15	14	11
				3	7	5
20	400	1500		150	70	30
				6	7	4
				14	12	11
				3	5	3
21	400	1300		100	80	40
				5	7	4
				12	12	11
				3	5	4
22	450	1300		140	180	110
				5	7	8
				12	14	11
				7	5	4
23	490	1200		130	150	120
				7	5	8
				11	12	15
				3	5	4
24	490	1200		100	90	120
				7	5	5
				11	12	15
				4	5	6
25	400	1200		250	240	200
				7	5	5
				7	12	9
				4	5	6
26	400	1000		150	130	110
				14	18	16
				7	12	9
				4	5	6
27	250	800		170	120	100
				14	15	16
				7	12	9
				4	5	6
28	250	400		110	90	40
				13	12	15
				8	7	9
				3	6	5
29	250	1000		60	30	40
				13	12	15
				24	30	32
				4	6	5
30	250	1000		70	40	20
				13	12	15
				23	25	30
				5	4	5

71