Дежурко Л.Ф., Крюк Е.В.

Методическое пособие для УСРС по дисциплине «Эконометрика и ЭММ». Конспект лекций.

Для студентов дневной формы обучения

Минск

2016

Оглавление

Множественная регрессия………………………….. ………….. 3

Моделирование одномерных временных рядов ……………….11

Модели финансовых расчетов………………………………….26

Модели анализа эффективности инвестиционных проектов….37

Статистические игры…………………………………………….48

Модели управления запасами…………………………………...56

Множественная регрессия.

Вопросы:

Оценка параметров линейной модели множественной регрессии.

Анализ качества линейной модели множественной регрессии

Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей.

Она является обобщением парной регрессии. Она используется для описания зависимости между объясняемой (зависимой) переменой У и объясняющими (независимыми) переменными Х₁,Х₂,…,Х_k. Множественная регрессия может быть как линейная, так и нелинейная, но наибольшее распространение в экономике получила линейная множественная регрессия.

1.

Теоретическая линейная модель множественной регрессии имеет вид:

(1)

соответствующую выборочную регрессию обозначим:

(2)

Как и в парной регрессии случайный член ε должен удовлетворять основным предположениям регрессионного анализа. Тогда с помощью МНК получают наилучшие несмещенные и эффективные оценки параметров теоретической регрессии. Кроме того переменные Х₁,Х₂,…,Х_k должны быть некоррелированы (линейно независимы) друг с другом. Для того, чтобы записать формулы для оценки коэффициентов регрессии (2), полученные на основе МНК, введем следующие обозначения:

Тогда можно записать в векторно-матричной форме теоретическую модель:

МНК приводит к следующей формуле для оценки вектора коэффициентов выборочной регрессии:

(3)

Для оценки коэффициентов множественной линейной регрессии с двумя независимыми переменными , можно решить систему уравнений:

(4)

Как и в парной линейной регрессии для множественной регрессии рассчитывается стандартная ошибка регрессии S:

(5)

и стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

(6)

значимость коэффициентов проверяется с помощью t-критерия.

(7)

имеющего распространение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-k-1.

2.

Для этой оценки используется коэффициент (индекс) детерминации:

(8)

чем ближе к 1, тем выше качество регрессии.

Для проверки значимости коэффициента детерминации используется критерий Фишера или F- статистика.

(9)

с v₁ =k, v₂=n-k-1 степенями свободы.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Для компенсации такого увеличения вводится скорректированный (или нормированный) коэффициент детерминации:

(10)

Если увеличение доли объясняемой регрессии при добавлении новой переменной мало, то может уменьшиться. Значит, добавлять новую переменную нецелесообразно.

Пример 1:

Пусть рассматривается зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников. Собраны статистические данные по 6 однотипным предприятиям. Данные в млн. ден. ед. приводятся в таблице 1.

Таблица 1

Номер предприятия, i	Прибыль i-го предприятия, уi	Затраты на новое оборудование i-го предприятия, хi1	Затраты на повышение квалификации на i-м предприятии, хi2
1 2 3 4 5 6	2 3 5 6 8 8	3 3 5 7 9 10	1 4 5 6 8 11

Построить двухфакторную линейную регрессию и оценить ее значимость. Введем обозначения:

Транспонируем матрицу Х:

Обращение этой матрицы:

;

.

Таким образом зависимость прибыли от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников можно описать следующей регрессией:

Используя формулу (5), где k=2 рассчитаем стандартную ошибку регрессии S=0,636.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии рассчитаем, используя формулу (6):

Аналогично:

Проверим значимость коэффициентов регрессии а₁, а₂. определим t_расч.

Выберем уровень значимости , число степеней свободы

значит коэффициент а₁ значим.

Оценим значимость коэффициента а₂:

Коэффициент а₂ незначим.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (7) . Прибыль предприятия на 96% зависит от затрат на новое оборудование и технику и повышение квалификации на 4% от прочих и случайных факторов. Проверим значимость коэффициента детерминации. Рассчитаем F_расч.:

Коэффициент детерминации значим.

Пример 2. Изучается влияние на объем выпуска продукции (у, тыс. ден.ед.) различных факторов: количества занятых (х₁, чел), стоимости основных фондов (х₂, тыс. ден.ед.), средней заработной платы на предприятии (х₃, ден.ед.) по данным 30 предприятий.

Таблица 2

Номер предприятия	Объем выпуска продукции, у	Количество занятых, х1	Стоимость основных фондов, х2	Средняя заработная плата на предприятии, х3
1	2320	40	430	5200
2	2500	40	410	5610
3	2560	42	530	6800
4	2700	45	560	6300
5	2893	47	480	6400
6	2941	49	430	7000
7	3020	52	440	6900
8	3648	55	510	6950
9	3400	59	550	7200
10	3110	44	580	8000
11	3150	41	630	7830
12	3246	51	570	7500
13	3380	60	620	7600
14	3420	46	660	7760
15	3460	53	650	7800
16	3465	57	670	7800
17	3480	44	720	7900
18	3510	48	640	8040
19	3555	56	670	8600
20	3600	54	720	8900
21	3662	51	770	9600
22	3679	46	760	8400
23	3700	56	800	9200
24	3571	57	710	8360
25	3500	48	650	8100
26	3680	59	580	7900
27	3710	60	690	7220
28	3125	55	430	6500
29	3176	45	520	5630
30	3720	60	650	6840

Решение. С помощью инструмента Корреляция пакета Анализ данных получена матрица коэффициентов парной линейной корреляции.

Рис. 1. Матрица коэффициентов парной линейной корреляции.

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная (т.е. объем выпуска продукции) имеет тесную связь с количеством занятых ( ) , стоимостью основных фондов ( ), средней заработной платой на предприятии ( ). Однако, факторы х₂ и х₃ тесно связаны между собой ( ), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели х₂ , так как она имеет более тесную связь с переменной у ( ). Уравнение регрессии построено с помощью программы Регрессия пакета Анализ данных. Таблицы протокола выполнения программы Регрессия представлены на рисунке.

Рис. 2.Протокол выполнения программы Регрессия

Запишем уравнение регрессии и его основные характеристики

Коэффициент множественной корреляции показывает тесноту связи зависимой переменной у с двумя включенными в модель объясняющими факторами. Скорректированный коэффициент детерминации показывает, что около 78,8% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Проверку значимости проведем на основе F-критерия Фишера. Поскольку превышает =3,35, уравнение регрессии следует признать значимым. Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. Значения t-критерия для коэффициентов уравнения регрессии можно выписать из третьей таблицы протокола программы Регрессия или получить по приведенным выше формулам.

.

Стандартная ошибка уравнения регрессии

.

Стандартные ошибки параметров уравнения и расчетные значения t-критерия для них

; ;

; ;

; .

Расчетные значения t-критерия для коэффициентов при переменных превышают табличное значение следовательно, факторы статистически значимы и они правомерно включены в модель.

Оценим влияние факторов на зависимую переменную по модели. Для каждого коэффициента регрессии вычислим коэффициент эластичности при известных значениях

Коэффициент эластичности Э₁ показывает, что при увеличении количества занятых на 1% объем выпуска продукции увеличится на 0,46%. Коэффициент эластичности Э₂ показывает, что при увеличении стоимости основных фондов на 1% объем выпуска продукции увеличится на 0,39%. Первый фактор сильнее влияет на исследуемый показатель.

Определим точечный и интервальный прогноз объема выпуска при следующих прогнозных значениях факторов: число занятых (х₁) – 70 человек, стоимость основных фондов (х₂) -800 тыс. ден.ед.

Пусть прогнозные значения факторов составят: число занятых (х₁) – 70 человек, стоимость основных фондов (х₂) -800 тыс. руб. Точечный прогноз будет равен

Ошибка прогноза составит

.

Интервальный прогноз

или . При числе занятых 70 человек и стоимости основных фондов 800 тыс. ден. ед. прогнозное значение объема выпуска продукции с вероятностью 95% будет не менее 3874,46 и не более 4740,92 тыс. ден. ед.