Круговой угол

См. рисунок в конце раздела.

Величина угла может быть геометрически интерпретирована как удвоенная площадь сектора между осью , радиус-вектором и дугой окружности (жёлтый сектор на рисунке) или длина дуги окружности, ограничивающей этот сектор (выделена зелёным). Хотя эти факты и очевидны, докажем их (чтобы потом можно было сравнить это доказательство, с аналогичным доказательством в гиперболическом случае).

Рассмотрим бесконечномалое приращение аргумента . Вектор при этом получит приращение (маленький красный вектор). Площадь выделенного сектора возрастёт на площадь бесконечномалого треугольника (нарисован серым цветом). Приращение площади сектора равно половине векторного произведения векторов и (определителя составленного из компонент этих векторов).

Т.е. получился определитель обратной матрицы поворота умноженный на . Определитель матрицы поворота равен (площадь квадрата натянутого на векторы и ), это связано с тем, что поворот сохраняет площадь.

Приращение длины дуги равно умноженному на длину вектора (т.е. на 1).

Таким образом, оба определения угла (через площадь сектора и через длину дуги) доказаны, причём доказательства показали связь этих свойств со свойствами поворота сохранять площадь и длину.

Гиперболический угол (быстрота)

Проделаем теперь аналогичные выкладки в гиперболическом случае.

Величина угла может быть геометрически интерпретирована как удвоенная площадь сектора между осью , радиус-вектором и дугой гиперболы (жёлтый сектор на рисунке) или интервал вдоль дуги гиперболы, ограничивающей этот сектор (выделена толстой красной линией). Эти факты уже не столь привычны, как в круговом случае.

Рассмотрим бесконечномалое приращение аргумента . Вектор при этом получит приращение (маленький синий вектор). Площадь выделенного сектора возрастёт на площадь бесконечномалого треугольника (нарисован серым цветом). Приращение площади сектора равно половине векторного произведения векторов и (определителя составленного из компонент этих векторов).

Т.е. получился определитель обратной матрицы буста умноженный на . Определитель матрицы, буста равен (площадь ромба натянутого на векторы и ), это связано с тем, что буст сохраняет площадь.

Приращение интервала вдоль дуги равно умноженному на интервал вдоль вектора (т.е. на 1).

Таким образом, оба определения гиперболического угла (через площадь сектора и через интервал вдоль дуги) доказаны, причём доказательства показали связь этих свойств со свойствами буста сохранять площадь и интервал.

Механическая (релятивистская) точка зрения

Рассмотрим те же самые кривые, изменив параметризацию и масштаб

Здесь появился масштабный фактор и изменились параметры. Новые параметры и — это длина траектории и интервал вдоль мировой линии. В правильности расстановки коэффициентов легко убедиться из соображений размерности: аргументы тригонометрических и гиперболических функций должны быть безразмерными, а координаты (включая время) имеют размерность длины (или времени, что то же самое). Мы можем обратить в единицу, если в качестве единицы измерения длины и времени выбрать .

Запишем в обоих случаях радиус-векторы и первые две производные от них по

параметрам и

Геометрический смысл вектора — единичная касательная, а вектора — вектор кривизны, его длина — обратная величина к радиусу кривизны ( всегда перпендикулярен , т.е. ). Если двигаться по окружности так, чтобы параметр задавал время, то — скорость, а — ускорение. (Это движение по окружности мы рассматриваем как нерелятивистское!).

Физический смысл вектора — релятивистская («четырёхмерная») скорость (тоже единичная касательная, но уже в смысле метрики Минковского), а вектора — релятивистское («четырёхмерное») ускорение (аналог вектора кривизны, тоже всегда перпендикулярно , но уже в смысле метрики Минковского, т.е. ).

При имеем , а . При этом все три окружности, на которых лежат концы векторов сливаются в одну единичную окружность, сливаются в одну единичную гиперболу и две гиперболы, на которых лежат концы векторов и .

Домножив векторы скорости и на массу («массу покоя») мы получим вектор импульса и вектор релятивистского импульса . Компонентами релятивистского импульса являются энергия и обычный механический импульс

Импульс оказался пропорциональным времени! Это означает, что движение происходит под действием постоянной силы

Таким образом, гиперболическое движение является релятивистским аналогом равноускоренного движения под действием постоянной силы (чуть ниже мы углубим эту аналогию). Такое движение имеет место, например, в линейном ускорителе, где заряженная частица разгоняется вдоль прямой под действием постоянной силы создаваемой однородным электрическим полем.

На рисунке изображены мировые линии равноускоренной частицы согласно классической механике (синяя парабола) и согласно СТО (красная гипербола). На классической мировой линии обозначены точки, когда частица достигает скорости света и проведены касательные в этих точках. Видно, что кривые начинают заметно расходиться только на скоростях сравнимых со скоростью света.

Домножив векторы ускорения и на массу («массу покоя») мы получим вектор силы и вектор релятивистской силы (2-й закон Ньютона).