Тақырыбы: «Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы».

A және B оқиғалардың қосындысы немесе бірігуі деп A оқиғаның көрінуінен немесе B оқиғаның көрінуінен немесе екі оқиғаның көрінуінен тұратын оқиғаны айтады.

Оны

деп белгілейді,

немесе

С= {барлық боялған бөлігі}

Мысалы.

Қарудан екі оқ атылған. A – бірінші атқандағы оқ тию, B- екінші атқандағы оқ тию. Онда A+B – бірінші атқандағы, екінші атқандағы немесе екі атқандағы оқ тию. Егер A және B – үйлесімсіз оқиғалар болса, онда A+B осы оқиғалардың біреуінің көрінуі, қайсысының екені бәрібір.

Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің көріну ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең.

.

Бірнеше үйлесімсіз оқиғалар үшін ықтималдықтарды қосу теоремасы:

.

Оқиғалардың толық тобы.

Салдар 1.

Егер A, B, C оқиғалары толық тобын құрайтын болса, онда олардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

Қарама - қарсы деп толық топ құрайтын тек қана екі мүмкін оқиғалар аталады.

Белгіленуі: A және .

Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы мынаған тең:

.

Салдар 2.

A және екі қарама-қарсы оқиғаның ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

Мысал.

Жәшікте 30 шарлар бар: 10 қызыл, 5 көк және 15 ақ. Кездейсоқ алынған шар боялған болатынының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Боялған шардың пайда болуы, не қызыл, не көк түсті шардың пайда болғанын білдіреді.

А оқиғасы арқылы – қызыл түсті шардың, ал В оқиғасы арқылы – көк түсті шардың пайда болуын белгілейміз. Сонда:

;

.

А және В оқиғалары үйлесімсіз (бір түсті шардың пайда болуы, басқа түсті шардың пайда болуын жоққа шығарады), сондықтан бұл жағдайда қосу теоремасы қолданбалы:

.

Оқиғалардың көбейтіндісі.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі немесе қиылысуы деп, осы екі оқиғаның бірігіп пайда болуынан тұратын АВ оқиғасын атайды.

,

немесе

деп белгіленеді.

Бірнеше оқиғалардың көбейтіндісі осы бойынша анықталады.

Мысалы.

A={жолаушы поездға билет сатып алды}, B={вагондағы өз орнына отырды}, C={поезд берілген вагонмен орнынан қозғалды}. Сонда

={жолаушы кетіп қалды}.

Шартты ықтималдықтар.

шартты ықтималдығы деп А оқиғасы пайда болды деп болжамдап есептелгендегі В оқиғасының ықтималдығын атайды.

Мысалы.

Урнада 3 ақ және 3 қара шар болды. Урнадағы шарларды екі рет бір-бірден кері орнына салмай шығарады. Егер бірінші тәжірибеде қара шар алып шыққан болса (А оқиғасы), екінші тәжірибеде ақ шар алып шығатындығының (В оқиғасы) ықтималдығын тап. Шешуі:

Бірінші тәжірибеден кейін урнада 5 шар қалды, олардың 3-уі ақ. Ізделінді шартты ықтималдық:

.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Екі оқиғаның бірігіп пайда болуының ықтималдығы – олардың біреуінің, бірінші оқиға пайда болды деп ойда есептеп алынған екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең:

.

А және В оқиғалары, екеуінің біреуінің ықтималдығы екіншісінің көрінуіне байланысты өзгермесе тәуелсіз деп аталады. Олай болмаған жағдайда олар тәуелді болар еді. Тәуелсіз оқиғаларға сонымен қатар В оқиғасының шартты ықтималдығы оның шартсыз ықтималдығына тең болатынын айтуға болады:

.

Тәуелсіз оқиғалары үшін көбейту теоремасы.

Үйлесімді оқиғалардың ықтималдықтарының қосу теоремасы.

Екі оқиға, егер бір тәжірибеде біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуын жоққа шығармаса үйлесімді деп аталады.

Мысалы.

Ойын сүйегін лақтырғанда, A – 4 ұпайдың пайда болуы, В – тақ санды ұпайдың пайда болуы. А және В оқиғалары – үйлесімді.

Теорема. Екі үйлесімді оқиғаның ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы осы ықтималдықтардың қосындысынан олардың ықтималдықтарының үйлесімді көрінуін шегергенге тең:

.

Теорема. жиынында тәуелсіз оқиғалардың ең болмаса біреуінің көріну ықтималдығы 1 мен қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің , айырмасына тең.

Егер оқиғаларының ықтималдықтары бірдей р –ға тең болса, онда бұл жағдайда

Мысалы:

Үш мерген нысанаға оқ атады. Бірінші мерген көздеген жерге оқ тию ықтималдығы 0,75 тең, екіншісінікі - 0,8, үшінсінікі - 0,9. а) үш мергеннің нысанаға тиюінің; б) ең болмаса бір мергеннің нысанаға тиюінің ықтималдығын тап.

Шешуі:

а)

A, B, C оқиғалары тәуелсіз, онда тәуелсіз оқиғалардың көбейту теоремасы бойынша:

.

б)

(1-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)

(2-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы)

(3-ші мергеннің тимеуінің ықтималдығы) яғни, , ,

.

Толық ықтималдық формуласы.

Мысалды қарастырайық.

Бірінші заводта әр 100 электр шамынан орта мәнімен алғанда 90 –стандартты, екіншісінен -95, үшіншісінен - 85 өндіріледі. Сәйкесінше берілген ауданның дүкеніне түсетін барлық электршамнан 50, 30 және 20% заводтың өнімін құрайды. Стандартты электршамының сатып алуға болатынының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Ізделінді оқиғаны A деп, ал бірінші, екінші және үшінші заводтарда шығарылған электршамының оқиғасын сәйкесінше , , деп белгілейік. Шарт бойынша мына оқиғалардың ықтималдығы белгілі: , , және олардың әрқайсысына қатысты А оқиғасының шартты ықтималдығы:

, , .

Бұл бірінші, екінші және үшінші заводтарда дайындалған стандартты электршамын сатып алу ықтималдығы.

A ізделінді оқиғасы,егер K оқиғасы – электршам бірінші заводта шығарылған және стандартты ( яғни В₁ және A), немесе L оқиғасы – электршам екінші заводта шығарылған және стандартты (яғни В₂ және A), M оқиғасы – электршам үшінші заводта шығарылған және стандартты (яғни В₃ және A).

Ықтималдықтарды қосу теоремасын пайдаланып, мынаны шығарамыз:

.

Ықтималдықтарды көбейту теоремасын пайдаланып, мынаны шығарамыз:

Қорытынды формула – толық ықтималдық формуласының дербес жағдайы болып табылады.

Теорема. Толық тобын құрайтын үйлесімсіз оқиғалардың біреуі көрінеді деген шартпен пайда болатын А оқиғасының ықтималдығы оның шартына сәйкес келетін осы оқиғалардың әрқайсысының ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысына тең:

.