Лабораторная работа №5 Численное интегрирование
Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций, Симпсона, а также квадратурным формулам Ньютона-Котеса более высокого порядка точности, приобретение навыков оценки точности результата.
Программа работы
Вычислить определенный интеграл от заданной функции по заданному отрезку методами средних прямоугольников, трапеций, Симпсона с фиксированным числом частичных отрезков.
Вычислить определенный интеграл от заданной функции по заданному отрезку с фиксированным числом частичных отрезков, используя одну из квадратурных формул Ньютона-Котеса высокого порядка.
Вычислить определенный интеграл от заданной функции по заданному отрезку методами средних прямоугольников, трапеций, Симпсона с заданной максимально допустимой погрешностью.
Вычислить определенный интеграл от заданной функции по заданному отрезку с заданной максимально допустимой погрешностью, используя как в п.2 квадратурную формулу Ньютона-Котеса высокого порядка.
5. Определить фактическую погрешность расчетных значений п.1 и 2.
Ход работы:
К п.1. Расчеты по формулам дают точное значение интеграла в случае, если подынтегральная функция на отрезке [a,b] является соответственно полиномом степени 0,1 и 2. В противном случае точность расчета повышается применением обобщенных (составных) квадратурных формул, которые строятся следующим образом
Рис. 1
На рисунке 1 изображён расчёт интеграла методом средних прямоугольников с фиксированным шагом и числом узлов = 10. Относительная погрешность метода 2.23*E-04
Рис. 2
На рисунке 2 изображён расчёт интеграла методом трапеций с фиксированным шагом и числом узлов = 10. Относительная погрешность метода 4.48*E-04
Рис. 3
На рисунке 3 изображён расчёт интеграла методом Симпсона с фиксированным шагом и числом узлов = 10. Относительная погрешность метода 1.3*E-07
К п. 2. Расчет по формуле Ньютона-Котеса дает точное значение интеграла в случае, если подынтегральная функция на отрезке [a,b] является полином степени n-. В программе эта формула, как и в п 1. применяется к каждому частичному отрезку при делении всего отрезка [a,b] на N частей и называется составной формулой Ньютона-Котеса
Составная формула Ньютона-Котеса
Рис. 4
На рисунке 4 показан расчёт интеграла методом Ньютона-Котеса с фиксированным шагом и числом отрезков = 10. Относительная погрешность метода 1,2*E-03
К п. 3. Необходимо меню программы настроить на тип расчета "с заданной точностью", если необходимо, изменить величину относительной погрешности вычислений и оставить прежним режим расчета (пошаговый). Получить и зафиксировать значения интеграла, применяя методы средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.
В отличие от расчета в п.1 расчет "с заданной точностью’ предусматривает для повышения точности интегрирования, уменьшение шага интегрирования h (длины частичного отрезка) последовательным увеличением числа частичных отрезков.
Рис. 5
На рисунке 5 изображён расчёт интеграла с заданной точность методом средних прямоугольников. Заданная точность обеспечивалась при разбиении отрезка интегрирования на 48 частей.
Рис. 6
На рисунке 6 изображён расчёт интеграла с заданной точностью методом трапеций. Заданная точность обеспечивалась при разбиении отрезка интегрирования на 192 частей.
Рис. 7
На рисунке 7 изображён расчёт интеграла с заданной точность методом Симпсона. Заданная точность обеспечивалась при разбиении отрезка интегрирования на 6 частей.
К п.4. В меню программы установить метод Ньютона-Котеса и выбранное в п.2 число узлов интерполяции. Не изменяя остальные настройки меню, провести визуальный анализ уточнения приближенных значений интеграла как в п. 3, фиксируя каждый шаг уточнения в рабочую тетрадь.
Рис. 8
На рисунке изображён расчёт интеграла с заданной точностью методом Ньютона-Котеса. Заданная точность обеспечивалась при разбиении отрезка интегрирования на 192 части.
Вывод: исследуя методы численного интегрирования в данной лабораторной работе, можно установить, что самым эффективным методом интегрирования, из выше перечисленных – это метод Симпсона. Во-первых потому что для экстраполяции функции он использует полином 2 порядка, во-вторых, что он обладает симметрией при интерполяции, как и метод прямоугольников.