Лабораторная работа №4 Интерполирование
Цель работы: закрепление знаний о полиномиальной интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона, а также о кубической сплайн-интерполяции; приобретение навыков оценки точности интерполяции.
Программа работы
Интерполировать табличную функцию для заданного числа узлов и значений функции и рассчитать значение интерполирующей функции в заданных точках по формулам 1.1. формула Лагранжа; 1.2. формула Ньютона; 1.3. формула кубической сплайн-функции
Повторить интерполяцию функции для измененного числа узлов и ее значений по формулам Лагранжа, Ньютона и кубической сплайн-функции и рассчитать значение интерполирующих функции в точках п.1.
3. Определить фактическую погрешность интерполяции результатов п.1 и 2. 4. Оценить максимально возможную величину погрешности полиномиальной интерполяции п.1.
Ход работы:
К п.1. Поскольку интерполируемая функция представлена последовательностью узлов (2) через неравные промежутки, то меню программы необходимо настроить на интерполирующую формулу Лагранжа общего вида, затем ввести количество узлов интерполяции –5, количество расчетных точек-3. Узлы интерполяции и значения функции в них ввести согласно указанию (2) в левом окне экрана, а расчетные точки интерполяции ввести согласно индивидуальному заданию в правом окне.
К п.1.1. Формула Лагранжа.
Рис. 1
На рисунке 1 показаны узлы интерполяции и их значения, а также точки интерполяции и рассчитанные значения функции.
Рис. 2
На рисунке 2 изображён график интерполяции функции формулой Лагранжа.
К п.1.2.Формула Ньютона.
Рис. 3
На рисунке 3 показаны узлы интерполяции и их значения, а также точки интерполяции и рассчитанные значения функции при помощи интерполирования полиномом Ньютона.
Рис. 4
На рисунке 4 изображён график интерполяции функции формулой Ньютона.
К п.1.3. Формула сплайн-функции.
Рис. 5
На рисунке 5 показаны узлы интерполяции и их значения, а также точки интерполяции и рассчитанные значения функции при помощи интерполирования Сплайнами.
Рис. 6
На рисунке 6 изображён график интерполяции функции Сплайнами.
К п. 2. Увеличить количество точек интерполяции и сравнить результаты.
Для формулы Лагранжа:
Рис. 7
На рисунке 7 показаны узлы интерполяции и их значения, а также точки интерполяции и рассчитанные значения функции.
Рис. 8
На рисунке 8 изображён график интерполяции функции Сплайнами.
Сплайн интерполяция:
Рис. 9
На рисунке 9 показаны узлы интерполяции и их значения, а также точки интерполяции и рассчитанные значения функции.
Рис. 10
На рисунке 10 изображён график интерполяции функции Сплайнами. Из графика следует, что в некоторых случаях могут возникать осцилляции на границах сетки интерполяции.
Вывод: интерполяция функции возможна только при условии, что интерполируемый полином, будет того же порядка или выше, чем сама функция. В противном случае, могут возникать осцилляции на границах интерполяции. Интерполяция является очень мощным средством в численных методах и лежит в основе многих численных решений. Например, в численном интегрировании.