Лабораторная работа №3 Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.
Цель работы: закрепление знаний о методах простой итерации и Гаусса-Зейделя; о достаточном условии и характере сходимости методов, о влиянии на скорость сходимости итерационного параметра, начального приближения, заданной максимально допустимой точности вычислений. Приобретение умений эквивалентных преобразования СЛАУ для обеспечения достаточного условия сходимости, а также приобретения навыков практической оценки фактической погрешности решения СЛАУ
Программа работы
Проверить для варианта задания СЛАУ лабораторной работы №1 достаточное условие сходимости метода Якоби и метода Гаусса-Зейделя и независимо от результата проверки произвести попытку решения СЛАУ.
Обеспечить выполнение достаточного условия сходимости путем эквивалентных преобразований исходной СЛАУ
Решить преобразованную в п.2 СЛАУ исследуемыми методами и оценить максимально возможную величину погрешности решения, обусловленную каждым из используемых методов.
Определить оптимальное значение итерационного параметра для каждого используемого метода, обеспечивающего минимальное число итераций.
Определить влияние выбора начального приближения на число итераций и точность решения.
Определить влияние погрешности округления на сходимость итерационного процесса с заданной точностью.
Ход работы:
К п.1. Проверить для варианта задания СЛАУ лабораторной работы №1 достаточное условие сходимости метода Якоби и метода Гаусса-Зейделя и независимо от результата проверки произвести попытку решения СЛАУ
Рис. 1
На рисунке 1 изображено решение СЛАУ итерационным методом Якоби.
Рис. 2
На рисунке 2 изображено решение СЛАУ итерационным методом Гаусса-Зельделя.
Видно, что метод Гаусса-Зейделя даёт нужный результат за меньшие число итераций, в данном конкретном случаи.
К п.2. Необходимо для сходимости итерационных процессов обеспечить выполнение одного из условий диагонального преобладания
Рис. 3
На рисунке 3 изображено решение СЛАУ, при котором не выполнялось условие диагонального преобладания и видно, что достаточное условие сходимости не выполняется.
Рис. 4
На рисунке 4 изображено решение СЛАУ с выполнением условия диагонального преобладания. Видно, что достаточные условия сходимости выполняются.
К п.3. Необходимо в меню программы, не меняя ранее введенных настроек, ввести расширенную матрицу системы с диагональным преобладанием. Затем следует в пошаговом режиме счета убедиться, что итерации метода Якоби и Гаусса-Зейделя сходятся, т.е. выполняется принцип сжимающих отображений x=Fx, когда правая часть системы уравнений вида x=Сx+d определяет отображение F, при котором строится итерационная последовательность, сходящаяся к единственной неподвижной точке х.
Рис. 5
На рисунке 5 показаны результаты расчёта в пошаговом режиме СЛАУ итерационным методом Гаусса-Зейделя. Видно, что достаточное условие сходимости выполняется.
Рис. 6
На рисунке 6 показаны результаты расчёта СЛАУ в пошаговом режиме используя метод Якоби. Видно, что выполняются достаточные условия сходимости. Число итераций для получения ответа с нужной точность равнялось 21.
К п.4. Итерационный параметр (w) вводится для ускорения сходимости методов как дополнительное смещение компонент вектора решения x(k) на величину w
Рис. 7
На рисунке 7 показано решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя и подбором величины w. Видно, что решение с достаточной точностью было получено всего за 2 итерации.
Рис. 8
На рисунке 8 показано решение СЛАУ методом Якоби и подбором величины w. Видно, что решение с достаточной точность было получено всего за 2 итерации
К.п.5. Необходимо в меню программы восстановить нулевое начальное приближение и изменить значение точности вычислений 10-3 на 10—10. Для расчета применить только метод Якоби. Зафиксировать в рабочую тетрадь полученные результаты решения и число итераций.
Рис. 9
На рисунке 9 изображено решение СЛАУ порядка 3, итерационным методом Якоби. Видно, что достаточные условия сходимости выполняются. Относительная погрешность согласно условию, равняется 1*E-10. Число итераций для получения решения с заданной точностью = 38.
Вывод: итерационные методы эффективны в тех случаях, когда нужно получать значения с определённой точностью. Но итерационные методы не всегда сходятся. В случае, если итерационный метод не сходится, то стоит попробовать применить другой метод итераций.