Лабораторная работа №2 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.
Цель работы: закрепление знаний о методе Гаусса и Жордана (Гаусса – Жордана), о роли выбора ведущего элемента и о влиянии числа обусловленности; приобретение умений практической оценки погрешности решения СЛАУ, обусловленной округлением; получение навыков оценки чувствительности решения СЛАУ к изменению исходных данных системы.
Программа работы:
Решить СЛАУ методами Гаусса и Жордана без выбора ведущего элемента, фиксируя результат каждого шага преобразования исходной матрицы.
Решить СЛАУ методом Гаусса с различными способами выбора ведущего элемента.
Оценить максимально возможную величину погрешности результатов п.2., обусловленную погрешностью округления.
Определить при заданном изменении элементов столбца правых частей, используя метод Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу, фактическое относительное изменение решения СЛАУ и его максимальную величину.
Определить при заданном изменении элементов матрицы, используя метод Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу, фактическое относительное изменение решения СЛАУ и его максимальную величину.
Ход работы.
К п.1. Необходимо решить СЛАУ вида Ax=b сначала методом Гаусса, затем Жордана. Меню программы следует настроить в соответствии с рекомендациями п. Общие, установив метод Гаусса без выбора ведущего элемента и пошаговый режим расчета для детального уяснения операций каждого шага преобразования расширенной матрицы для исходной СЛАУ. В рабочей тетради не фиксировать на прямом ходе результаты промежуточных операций, а только элементы расширенной матрицы после каждого шага исключения неизвестных. Результаты обратного хода метода Гаусса зафиксировать в порядке определения неизвестных. При этом учитывать, что без выбора ведущего элемента не всегда можно определить решение СЛАУ с невырожденной матрицей, т.к. может оказаться, что ведущий элемент - нулевой.
Рис. 1
На рисунке 1 решение СЛАУ методом Гауса без выбора ведущего элемента.
Рис. 2
На рисунке 2 изображено решение СЛАУ методом Жордана без выбора ведущего элемента.
К п.2. Решить СЛАУ методом Гаусса с различными способами выбора ведущего элемента.
Рисунок 3. Решение СЛАУ методом Гауса с выбором ведущего элемента по строке.
Рисунок 4. Решение СЛАУ методом Гауса с выбором ведущего элемента по столбцу.
Рисунок 5. Решение СЛАУ методом Гауса с выбором ведущего элемента
по всей матрице.
К п.3. Оцениваем максимально возможную величину погрешности результатов, обусловленную погрешностью округления.
Рисунок 6. Число обусловленности COND(A)=80.62
К п.4. Определить при заданном изменении элементов столбца правых частей, используя метод Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу.
Рисунок 7. Решение СЛАУ методом Гауса с выбором ведущего
элемента по столбцу правых частей.
К п.5. Определить при заданном изменении элементов матрицы, используя метод Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и его максимальную величину.
Рисунок 8. Решение СЛАУ методом Гауса с выбором ведущего элемента
по столбцу и его максимальная величина.
Вывод: вычисления больших матриц с очень большим числом неизвестных может привести к накоплению погрешности и в результате к неточности вычислений. Выбор ведущего элемента при использовании метода Жордана и метода исключения Гаусса практически не приводит к уменьшению погрешности вычислений, за исключением некоторых случаев. Так же результаты вычислений зависят от числа обусловленности матрицы. Если матрица плохо обусловлена, то прямой метод будет давать большую погрешность при вычислениях неизвестных.