Лабораторная работа №1 Погрешность численных расчетов на эвм
Цель работы: закрепление знаний о возникновении и влиянии на результаты расчета погрешности округления, приобретение умения ее практической оценки и навыков рациональной организации вычислений.
Программа работы
Определить машинное эпсилон (EPS) двумя способами (по итерационному алгоритму и по формуле); сравнить результаты, определить количество верных десятичных цифр в вещественных числах ЭВМ, характеризующихся полученным расчетным значением EPS.
2. Выявить в фрагменте программы некорректно записанные операторы и определить необходимые исправления; экспериментально обеспечить выполнение условия в условном операторе и рассчитать максимальную величину погрешности вычисления разности двух величин в условии.
3. Осуществить подбором коэффициентов квадратного уравнения заметного отличия двух значений одного и того же корня, вычисляемого по теоретически тождественным формулам, определить максимальную абсолютную погрешность и минимальное число верных десятичных цифр в расчетных величинах.
4. Подобрать значение переменной Х и число слагаемых n, обеспечивающие отличающиеся значения результата вычисления по заданному выражению и составной ее части (суммы) при различных способах суммирования (в порядке возрастания и убывания слагаемых), произвести анализ максимальной абсолютной погрешности округления двух расчетных значений сумм.
5. Подобрать значение слагаемого Х и число n2 слагаемых, обеспечивающие отличающиеся значения суммы, которая вычисляется двумя способами (последовательное суммирование n2 слагаемых и суммирование n групп из n слагаемых), произвести анализ максимальной абсолютной погрешности округления двух расчетных значений сумм.
Ход работы
К
п.1.
Поставить на выполнение пункт меню EPS.
Рис. 1
Вычислили машинный эпсилон с помощью разных итерационных алгоритмов. И в результате проведённых оценок видно, что точные результаты может дать оценка по формуле. Оценка программная не точная, т.к. машинное эпсилон используемого представления данных в памяти не соответствует стандартам IEEE
К. п.2. Поставить на выполнение пункт меню LOOP. Вариант задачи определяется преподавателем. Результаты расчета фрагмента программы выводятся на экран для контроля ее правильной работы и не фиксируются в тетради.
Рис. 2
На рисунке 2 показан результат работы программы, а также результаты выполнения задания. В результате выполнения этого пункта была проведена оценка погрешности вычислений и определена нижняя граница интервала поиска
К п.3. Поставить на выполнение пункт меню SQR.
Рис. 3
На рисунке 3 показан результат выполнения пункта меню SQR. В результате выполнения этого пункта было установлено, что формула 2 даёт меньшую погрешность при вычислении квадратного корня практически во всех случаях.
К п.4 и 5. Поставить на выполнение пункт меню SUMMA. В этом пункте численные эксперименты содержат вычисления сумм. Полезно учесть при проведении в этом пункте двух численных экспериментов, что зависимость погрешности результата суммирования от числа слагаемых является немонотонной (не всякое увеличение числа слагаемых приводит к заметным различиям вычисленных значений двумя способами).
Рис. 4
На рисунке 4 показано, что обратный порядок решения даёт меньшую погрешность вычисления.
Вывод: На погрешность вычислений влияет в первую очередь используемый метод, разрядность представления чисел в памяти и способ округления. Во вторую очередь влияют математические операции и округление в разные стороны.