2.3 Свойства частных типов четырехугольников.

В школьном разделе геометрии традиционно изучают в основном свойства таких четырехугольников, как трапеции, параллелограммы, прямоугольники, квадраты, ромбы. Напомним их особые отличительные признаки и свойства.

Трапеции выделяются из общего множества простых четырехугольников требованием параллелизма двух сторон, которые принято называть основаниями.[2,стр.83] Две другие стороны трапеции предполагаются непараллельными, называются боковыми сторонами. Трапеции всегда выпуклы. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией. Длина средней линии трапеции равна половине суммы длин ее оснований. Среди всех трапеций особыми свойствами обладают равнобедренные трапеции, они характеризуются равенством боковых сторон. Равнобедренные трапеции имеют равные диагонали и равные углы при основаниях. Площадь трапеции вычисляется по формуле , где a,b – основания трапеции, а h – высота.

Четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом. Во всяком параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны между собой, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180^◦.

Параллелограмм центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Любой четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.

Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Последнее свойство является, в частности, следствием теоремы Эйлера. Площадь параллелограмма подсчитывается по формулам:

а) , б) ,

где а,b – смежные стороны, h – высота и α – угол между смежными сторонами.

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником. В прямоугольниках длины диагоналей равны.

Другим частным случаем параллелограммов являются ромбы, они характеризуются равенством длин всех сторон. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Квадраты являются одновременно частными случаями прямоугольников и ромбов, все стороны и углы квадратов соответственно равны. Диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.

Существует еще один частный тип четырехугольников, обладающих специфичными свойствами.

Определение. Обобщенным дельтоидом называется четырехугольник, у которого равны соответственно две пары смежных сторон.

Обобщенные дельтоиды могут быть выпуклыми и вогнутыми (рис.12). Ромбы являются частным случаем обобщенных дельтоидов (рис.12г).

Рис.12

Рассмотрим свойства четырехугольников, связанные с наличием осей симметрий.

Теорема. Четырехугольник имеет хотя бы одну ось симметрии тогда и только тогда, когда он является либо равнобедренной трапецией, либо прямоугольником, либо обобщенным дельтоидом.

Равнобедренная трапеция, прямоугольник, обобщенный дельтоид очевидно имеют оси симметрии. Докажем обратное.

Пусть четырехугольник ABCD имеет ось симметрии. Вершины четырехугольника должны быть попарно симметричны. Возможны два случая. Если ось симметрии пересекает сторону AB четырехугольника, то она должна проходить через середину стороны и быть к ней перпендикулярной. Вершины A и B становятся симметричными. Оставшиеся вершины C и D также должны быть симметричными. Сторона CD должна быть перпендикулярна оси симметрии, прямые AB и CD должны быть параллельны. Это возможно, если четырехугольник либо равнобедренная трапеция, либо прямоугольник.

Если ось симметрии проходит через одну из вершин, то она должна содержать диагональ четырехугольника и быть серединным перпендикуляром другой диагонали. В этом случае четырехугольник является обобщенным дельтоидом.

Две оси симметрии имеют ромб и прямоугольник. Квадрат имеет четыре оси симметрии.