2. Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Если все вершины четырехугольника лежат на окружности, то четырехугольник называется вписанным в эту окружность, а окружность – описанной около четырехугольника.

Не для всякого четырехугольника можно построить окружность, проходящую через все его вершины. Условие, необходимое и достаточное для выполнения этого построения, выражается теоремой.

Теорема 1. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов четырехугольника равна 180^◦.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник (рис.6а). Углы ABC и ADC являются вписанными в окружность. Они опираются на дуги ADC и ABC, в сумме составляющие всю окружность. Поэтому .

Рис.6.

Аналогично и .

П

Рис.7.

усть теперь ABCD – четырехугольник, для которого . Проведем окружность через точки A,B,C (рис.6б). Допустим, что эта окружность пересечет сторону AD или ее продолжение в точке D₁. Тогда получится четырехугольник ABCD₁, вписанный в окружность. Для этого четырехугольника должно выполняться условие . Сравнивая это условие с данным условием ; имеем , что возможно только при совпадении точек D и D₁. Итак, построенная окружность будет описанной около четырехугольника.

Окружность может быть описана и вписана около звездчатых четырехугольников. В этом случае справедлива теорема:

Теорема. Во всяком звездчатом четырехугольнике, вписанном в окружность (рис.7), противоположные углы равны и обратно, если в звездчатом четырехугольнике два противоположных угла равны, то четырехугольник вписан в окружность.

Без доказательства.

Теорема Птолемея. Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей, т.е.

С

Рис.8

уществуют различные способы доказательства теоремы Птолемея. Рассмотрим одно из простейших. На диагонали AC (рис.8) выберем точку Р и проведем отрезок ВР так, чтобы .

Рассматривая подобные треугольники ∆АВР и ∆ , получим .

Далее из подобия треугольников ∆РВС и ∆ADB аналогично находим .

Складывая левые и правые части полученных равенств, окончательно имеем .

В частности, утверждение теоремы Птолемея можно получить как следствие из теоремы Бретшнейдера. Действительно, так как , то

Тогда имеем .

Определение. Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в четырехугольник.

Для четырехугольников, описанных около окружности, справедлива теорема.

Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны между собой.

Если четырехугольник ABCD описан около окружности (рис.9а), то учитывая равенство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем равенство:

AB+CD=AD+BC,

что соответствует теореме.

Пусть теперь верно равенство AB+CD=AD+BC.

Рис.9.

Для доказательства обратного утверждения проведем окружность, касающуюся сторон AB,CD,BC. Построим затем к этой окружности касательную из точки A. Предположим, что эта касательная не совпадает с прямой AD и пересекает прямую CD в точке D₁.

В силу прямой теоремы верно равенство AB+CD₁=AD₁+BC.

Вычтем это равенство из исходного равенства. Тогда имеем:

. Или .

Последнее соотношение противоречит неравенству треугольника, что означает, что предположение неверно. Следовательно, рассматриваемая окружность будет касаться и стороны (рис.9б).

Если в определении описанного четырехугольника допустить касание продолжения стороны, то можно говорить о других способах расположения окружности относительно четырехугольника. Возможные случаи показаны на рис.10.

Нужно отметить, что в каждом из этих случаев можно выделить равные суммы пар сторон четырехугольников. Например, на рис.10д: CD+DA=AB+BC.

Рис.10

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного выпуклого четырехугольника определяется формулой

,

где р – полупериметр и a,b,c,d – стороны (рис.11).

Действительно, для вписанного четырехугольника .

По теореме косинусов или . (1)

С другой стороны , поэтому . (2)

Возводя в квадрат и складывая выражения (1) и (2), мы получаем

.

Отсюда

Окончательно имеем .

Если положить в этой формуле d=0, то получим формулу Герона для площади треугольника. .[2,стр.82-83]