Глава I. Изучение темы «Четырехугольники» в высшей и средней школе

§1. Геометрия четырехугольника

1. Многоугольники.

Определение 1. Многоугольником называется ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из п-конечного числа отрезков. [2, стр.33]

Если п=4, то многоугольник будет четырехугольником.

Определение 2. Многоугольник – это фигура на плоскости, являющаяся объединением конечного числа треугольников, для которых выполнены следующие условия:

1. каждые два треугольника либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, либо имеют только общую сторону;

2. от каждого треугольника к другому треугольнику можно перейти по цепочке, в которой каждый последующий треугольник прилегает к предыдущему треугольнику по целой стороне. [2, стр.34]

2. Четырехугольники.

   1. Общие свойства четырехугольника. Множество всех четырехугольников плоскости разбивается на три подмножества. Это выпуклые, вогнутые, звездчатые четырехугольники. При этом под вогнутыми четырехугольниками мы понимаем простые невыпуклые четырехугольники.

Рассмотрим наиболее общие факты теории четырехугольников.

Теорема. Сумма внутренних углов любого простого четырехугольника равна 360^◦.

Теорема является следствием того факта, что любая диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника, при этом сумма углов четырехугольника равна сумме углов треугольника разбиения.

Теорема П. Вариньона. Во всяком четырехугольнике фигура, образованная последовательным соединением середин смежных сторон, является параллелограммом.

Рассмотрим все три возможные случаи четырехугольников. (Рис.1)

Рис.1

Для каждого типа четырехугольника по свойству средней линии треугольника имеем:

Следовательно, четырехугольник PQRS – параллелограмм.

Теорема. Для всякого простого четырехугольника площадь параллелограмма с вершинами в серединах смежных сторон равна половине площади этого четырехугольника.

Для выпуклого четырехугольника (рис.1) имеем

Аналогично доказывается теорема для вогнутых четырехугольников.

Теорема. Отрезки, соединяющие середины пар противоположных сторон произвольного четырехугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Действительно, согласно теореме Вариньона четырехугольник PQRS (рис.2) – параллелограмм. [2,стр.75]

П

Рис.2

усть его диагонали пересекаются в точке О. Применим теорему Вариньона к четырехугольнику ACBD. Тогда четырехугольник NQMS параллелограмм. Следовательно, отрезок MN проходит через точку О и делится в ней пополам.

Теорема Эйлера. Во всяком четырехугольнике сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Будем рассматривать все три типа четырехугольников (рис.3). Введем векторы:

Тогда из рис.1 имеем равенства:

Рис.3

Найдем скалярные квадраты векторов и сложим их, тогда после преобразований получим выражение , которое соответствует теореме.

Теорема косинусов для четырехугольника. Квадрат стороны любого четырехугольника равен сумме квадратов трех его других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон на косинусы углов между ними.

Для доказательства теоремы, введем векторы (рис.4).

Рис.4

Найдем скалярный квадрат вектора . Тогда после вычислений получим необходимое выражение:

Справедлива также теорема Бретшнейдера:

Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника на косинус суммы двух его противолежащих углов.

,

Где φ – угол, равный или (рис.5)

П

Рис.5

лощадь любого выпуклого четырехугольника ABCD (рис.5) находится по формуле , где e,f – диагонали и γ – угол между ними, или сумма площадей треугольников (напр. ∆ABC и ∆ADC рис.5) на которые он разбивается одной из диагоналей.