43. Сатж үшін жай итерация әдісінің алгоритмі блок-схема арқылы келтір.
44. Ньютонның 1-ші интерполяциялау формуласын блок-схема түрінде жаз.
Есептің
қойылуы. Айталық
функциясының, тәуелсіз айнымалылары
бір-бірінен бірдей қашықтықта жатқан
мәндерінде,
интерполяция
қадамы, мәндері
берілсін. Дәрежесі
-нен
аспайтын және
нүктелерінде
-ге
тең болатын, яғни
,
(1) орындалатын
полиномын табу (құру) керек.
(1)-ші шарты келесі шартқа эквивалентті
(2)
Ньютон мырза полиномды келесі түрде іздеген
.
Жалпыланған дәрежені қолдансақ
.
(3)
полиномының
коэффициенттерін анықтайық. Ол үшін
деп алып, (3) формуладан алатынымыз:
.
коэффициентін
анықтау үшін бірінші ақырлы айырымын
құрайық
.
Енді
деп алып, табатынымыз:
.
-ні
табу үшін екінші ақырлы айырымын құрамыз,
яғни
-ті
есептейміз:
.
Енді
деп алып, табатынымыз:
.
Осы процесті жалғастыра отырып,
барлығын табамыз
,
мұнда
.
коэффициенттерін (3) формулаға қойып, Ньютонның бірінші интерполяцияляқ полиномын аламыз
.
(4)
Осы
полином қойылған талаптың барлығына
да сәйкес келеді. Расында да, 1)
-тің
дәрежесі
-нен
аспайды, 2)
және
.
Соңғы тұжырымды өздеріңіз дәлелдеңіз.
-да
байқайтынымыз
және
.
Осыларды ескере отырып, (4)-тен алатынымыз
Тейлор
полиномы.
Іс
жүзінде, немесе жеке компьютерде есеп
шығарғанда, Ньютонның келесі, бірінші
(алға), полиномын пайдаланамыз. Ол үшін,
алдымен
жаңа айнымалысын енгіземіз. Ендеше
.
Бұдан
,
(5)
мұндағы
нүктесінен бастап
нүктесіне
жету үшін қажетті қадамдар саны. (5)
формуласы Ньютонның бірінші, немесе
алға формуласы деп аталады. Бұл формуланы
функциясын
нүктесіне жақын маңайда қолданған жөн.
Мұндағы
модулі бойынша өте аз шама.
45. Ньютонның 2-ші интерполяциялау әдісінің блок-схемасын жаз.Есептің қойылуы өзгермейді, яғни Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы сияқты формула табу керек. Мұнда да деп аламыз да, интерполяциялық полиномды келесі түрде іздейміз
. Белгісіз коэффициентері -лерді табу үшін біз Ньютонның бірінші формуласындағы -ді -ге ауыстырып, барлық амалдарды орындаймыз. Сонда алатынымыз:
. Бұдан шығатыны
Немесе десек, онда , т.с.с. соңғы формуладан алатынымыз:
. Бұл Ньютонның екінші, немесе артқа интерполяциялық формуласы. Белгісіз функция -ті жуықтау үшін дейміз.
47. интегралының h=0.2 қадамы үшін Симпсон әдісі бойынша қалдық мүшесін бағала.
48. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерге қойылған Коши есебін шешудің сандық әдістері.
(1)
есебін қарастырайық. кесіндісінде
нүктелер жиынын (торды) алайық. шешімі мәндерінінің жуық шешімінің айырымдылық схемасын жоғарыда алынған торда құрайық:
(2)
Бұл схеманың аппроксимация (жуықтау) реті (жуықтау дәлдігі) 1-ге тең. Егер есептелсе, онда
(3)
нүктесін нүктесіне, жазықтығында дифференциалдық теңдеуінің, нүктесінен өтетін, интегральдық қисығына жанама бойымен жылжытуы.
Осы айтылған әдіс – Эйлер әдісі деп аталады.
Егер
функциясы
тікбұрышында Липшиц шартын қанағаттандырса,
яғни
,
тұрақты
шама және
теңсіздігі орындалса,
тұрақты
шама, онда шешімінің қателігінің бағасы
төмендегідей болады
.
(4)
Ал,
іс жүзінде, алдымен
-ді
қадамымен және
-ді
қадамымен есептейді де қателігінің
бағасын былай анықтайды:
.