38. Сатж берілген. Зейдель итерацияның алгоритмін көрсет

k=0

k=1

k=2

8

39. [0,1] интервалы үшін y=f(x) функциясының кейбір нүктелердегі мәндері: y(0)=0.1,  y(0.25)=0.3,  y(0.5)=0.4,  y(0.75)=0.7, y(1)=1 берілген. y=f(x) функциясының 5-ші туындысы тұрақты санға(2.5) тең деп алып: f⁵(x)=2.5, Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласын қолданып x=0.05  нүктесінде интерполяция қателігін тап. 

	0	0.25	0.5	0.75	1
	0.1	0.2	0.35	0.5	1

Мұндағы: интерполяция қадамы

нүктесінен бастап нүктесіне жету үшін қажетті қадамдар саны

функциясының 5-ші туындысы

40. 3X1-X2-X3=0, X1-X2-4X3=1, 2X1-6X2-3X3=2,  САТЖ үшін жай итерация әдісінің формуласын жаз.

41. [0, 0.75] интервалы үшін у=f(x) функциясының кейбір нүктедегі мәндері: f(0)=0.1,  f(0.25)=0.2, f(0.5)=0.35, f(0.75)=0.5. Осы функцияның Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы бойынша x=0.05 нүктесіндегі мәнін тап.

	0	0.25	0.5	0.75
	0.1	0.2	0.35	0.5

Мұндағы:

бастапқы мәні

интерполяция қадамы

нүктесінен бастап нүктесіне жету үшін қажетті қадамдар саны

Айырымдар:

Осылардың барлығын Ньютонның бірінші интерполяциясына қоямыз.

42. Ақырлы айырымын кез-келген n үшін есептейтін алгоритмді ойлап тап.

Айталық беріген функция болсын. Аргументтің өсімшесі (қадамы) – бекітілген шама болсын. Онда

(1)

функциясының бірінші ақырлы айырымы деп аталады. Тура осылай жоғарғы ретті ақырлы айырымдарын да анықтауға болады . Мысалы,

Мысалы. функциясының ақырлы айырымдарын, қадамы деп алып, есептеңіз.

Шешуі.

болғанда.

функциясы үшін үшінші ретті ақырлы айырымы тұрақты шама болатынына көңіл аударыңыз.

Жалпы, келесі тұжырым дұрыс: егер – -ші ретті полином болса, онда мұндағы . Өздеріңіз дәлелдеңіздер.

(дельта) белгісін функциясына функциясын сәйкестендіретін (қоятын) оператор ретіндеп қарастыруға болады ( тұрақты). Онда операторының негізгі қасиеттерін анықтауға болады:

1)

2) ( тұрақты);

3)

мұндағы және бүтін оң сандар, анықтамасы бойынша .

(1) формуласынан алатынымыз ; бұдан, -ны символдық көбейткіш десек, алатынымыз:

. (2)

Осы қатынасты біртіндеп рет қолданып, алатынымыз:

. (3)

Ньютон биномы формуласын қолдана отырып, алатынымыз:

(4)

мұндағы – элементтен бойынша терулер саны.

(4) формуланың көмегімен, функциясының келесі мәндерін сол функцияның әртүрлі ретті ақырлы айырымдарымен өрнектеуге болады.

Енді, (5)

тепе-теңдігі мен Ньютон биномын қолданып, алаьынымыз:

Бұдан, (3) формуланың көмегімен, алатынымыз:

(6)

(6) формуласы функциясының -ші ретті ақырлы айырымын осы функцияның келесі мәндері арқылы өрнектелетінін көрсетеді.

Айталық функциясының кесіндісінде үзіліссіз туындысы болсын. Онда келесі өте маңызды формула дұрыс болады

(7)

(7) формуласын математикалық индукция әдісімен дәлелдеңіз.

(7) формуласынан алатынымыз: Бұдан деп шек алып, және, туындысының үзіліссіздігін еске ала отырып, алатынымыз: . (8)

Яғни, өте аз шама болғанда, келесі жуықтау формуласы дұрыс болады (туындыларды ақырлы айырымдар арқылы жуықтап есептеу)

.