31. Екі теңдеу үшін итерация әдісі. Есептеу алгоритмін блок-схема түрінде жаз.

32. 32. [0, 0.75] интервалы үшін у=f(x) функциясының кейбір нүктедегі мәндері: f(0)=0.1,  f(0.25)=0.21, f(0.5)=0.35, f(0.75)=0.56. Осы функцияның Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы бойынша x=0.1 нүктесіндегі мәнін тап.

	0	0.25	0.5	0.75
	0.1	0.21	0.35	0.56

Мұндағы:

бастапқы мәні

сан мәнін орнына қойсақ, интерполяция қадамы

сан мәнін орнына қойсақ, нүктесінен бастап нүктесіне жету үшін қажетті қадамдар саны

Айырымдар:

Осылардың барлығын Ньютонның бірінші интерполяциясына қоямыз.

33. интегралының h=0.2 қадамы үшін трапеция әдісі бойынша қалдық мүшесін бағала.

34. Интегралды жуықтап есептеу. Қателіктерін бағалау.

Есептің қойылуы: интегралын жуықтап есептеу керек.

Алдымен аралығын қадамымен бірдей қашықтықта жататан нүктелерімен бөлікке бөлеміз, және болсын. Енді функциясын (бір–бірінен бірдей қашақтықта жататан түйіндерімен) Лагранж интерполяциялық полиномымен ауыстырып, келесі жуықтау квадратуралық формуласын аламыз:

, (1)

мұндағы – кейбір тұрақты коэффициентер.

(1) формуладағы коэффициенттерін анықтайық. Ол үшін, түйіндер ара қашықтықтары бірдей болатын, Лагранж интерполяциялық полиномында жаңа белгілеуін енгіземіз. Сонда алатынымыз:

, (2)

мұндағы жалпыланған дәреже.

Енді (1) формулада функциясын полиномымен ауыстырып, (2) өрнекті пайдалансақ, алатынымыз: немесе екенін ескерсек, онда .

болғандықтан , мұндағы

— Котес коэффициенттері. (3)

Ендеше , (4)

мұндағы . Келесі екі заңдылықтың орындалатынын өздеріңіз дәлелдеңіздер: 1) , 2) .

35) Трапеция формуласын қолданып интегралды есепте.Интервал [0,1] қадам h=0,2 формуласымен анықталады.

[0,1] h=0,2

36. Симпсон формуласын қолданып интегралды есепте. Интервал , қадам . Функцияның түйіндегі мәндері формуласымен анықталады.

37. Трапеция мен Симпсон формулалары және олардың қалдық мүшелері.

интегралын жуықтап есептеу үшін аралығын бірдей бөліктерге бөлеміз де әрбіреуіне трапеция формуласын қолданамыз. Енді деп, және деп белгілеп, алатынымыз: немесе . (7)

Егер болса, онда (7) квадратуралық формуласының қалдық мүшесі , мұндағы .

Енді – арифметикалық ортасын қарастырайық. мәні мәнінің аралығындағы ең кіші мәні мен ең үлкен мәндерінің арасында жататыны айғақ, яғни . функциясы аралығында үзіліссіз болғандықтан, ол осы аралығында өзінің ең кіші мәні мен ең үлкен мәндерінің аралығандағы барлық мәндерін қабылдайды. Сондықтан, әйтеурі бір нүктесі табылады да, осы нүктеде . Бұдан .

Айталық болсын, яғни жұп сан болсын. функциясының мәндері , қадамы -пен, бір бірінен бірдей қашықтықта жатқан түйіндерінде берілсін. Енді, әрбір екі еселенген, ұзындықтары -қа тең аралықтарында, Симпсон формуласын қолданып, алатынымыз:

.

Егер болса, онда әрбір екі еселенген аралығында Симпсон формуласының қателігі келесі формуласымен беріледі . Осы қателіктерін қосып, алатынымыз: . функциясы аралығында үзіліссіз болғандықтан, осы аралықтан нүктесі табылып, теңдігі орындалады. Сондықтан да

.

Егер де шектік мүмкін болатын қателігі берілсе, онда деп, қадамын табу теңсіздігін аламыз , яғни -тың реті шамасына пропорционал.

Іс жүзінде: 1) және – интегралдарының және қадамдарымен жуық мәндерін есептейді. 2) тұрақты деп алып, және мәндерін есептейді. Сонда, және болғандықтан, қателігі болады. Ендеше . ( интегралы интегралымен салыстырғанда дәлірек, себебі ).