21.Эйлер әдістері.

(1)

есебін қарастырайық. кесіндісінде

нүктелер жиынын (торды) алайық. шешімі мәндерінінің жуық шешімінің айырымдылық схемасын жоғарыда алынған торда құрайық:

(2)

Бұл схеманың аппроксимация (жуықтау) реті (жуықтау дәлдігі) 1-ге тең. Егер есептелсе, онда

(3)

нүктесін нүктесіне, жазықтығында дифференциалдық теңдеуінің, нүктесінен өтетін, интегральдық қисығына жанама бойымен жылжытуы.

Осы айтылған әдіс – Эйлер әдісі деп аталады.

Егер функциясы тікбұрышында Липшиц шартын қанағаттандырса, яғни , тұрақты шама және теңсіздігі орындалса, тұрақты шама, онда шешімінің қателігінің бағасы төмендегідей болады

. (4)

Ал, іс жүзінде, алдымен -ді қадамымен және -ді қадамымен есептейді де қателігінің бағасын былай анықтайды:

. (5)

. (6)

Енді итерациялық Эйлер процесс құрамыз

(7)

Мысал. Мұндағы . Есептің дәл шешімі Эйлер әдісі.

22.

23. Кері интерполяциялау формуласын қолданып қандай-да бір [a, b] интервалында жалғыз шешімі бар f(x)=0 теңдеуінің түбірін белгілі бір e дәлдікпен табудың алгоритмін блок-схема түрінде көрсетіңіз.Есептің қойылуы өзгермейді, яғни Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы сияқты формула табу керек. Мұнда да деп аламыз да, интерполяциялық полиномды келесі түрде іздейміз . Белгісіз коэффициентері -лерді табу үшін біз Ньютонның бірінші формуласындағы -ді -ге ауыстырып, барлық амалдарды орындаймыз. Сонда алатынымыз: . Бұдан шығатыны Немесе десек, онда , т.с.с. соңғы формуладан алатынымыз:

. Бұл Ньютонның екінші, немесе артқа интерполяциялық формуласы. Белгісіз функция -ті жуықтау үшін дейміз

24. [0,1] интервалы үшін y=f(x) функциясының кейбір нүктелердегі мәндері: y(0)=0.11, y(0.27)=0.32, y(0.52)=0.45, y(0.81)=0.78, y(1)=1.02 берілген. y=f(x) функциясының 5-ші туындысы тұрақты санға (2) тең деп алып: (x)=2. Лагранж интерполяциялық формуласын қолданып х=0.35 нүктесінде интерполяция қателігін тап.