. Белгісіз коэффициентері -лерді табу үшін біз Ньютонның бірінші формуласындағы -ді -ге ауыстырып, барлық амалдарды орындаймыз. Сонда алатынымыз: . Бұдан шығатыны

Немесе десек, онда , т.с.с. соңғы формуладан алатынымыз:

. Бұл Ньютонның екінші, немесе артқа интерполяциялық формуласы. Белгісіз функция -ті жуықтау үшін дейміз.

13. Сатж берілген. Шешiмдi Гаусс адiсiмен тап жане шешiмдi табуга кететiн арифметикалык операциялык санын аныкта.

2X₁+3X₂=1

3X1-X₂=2

1) X₁+3/2X₂=1/2

2) 3X₁-X₂-3X₁-3/2*3X₂=2-3/2

X₂=-1/11

3)X₁=(1-3X₂)/2=14/22

X₁=7/11

14/11-3/11=11/11=1

21/11+1/11=22/11=2

3 Операция аркылы орындалады.

14. Вх=а САТЖ үшін Гаусс әдісінің тура жолын сипаттап бер.

(1)

(негізгі элемент) болсын. (1) жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін -ге бөліп, алатынымыз:

(2)

мұндағы, .

(2) теңдеуді қолданып, (1) жүйеден -ді жоюға болады. Бұл үшін (1) жүйенің екінші теңдеуінен -ге көбейтілген (2) теңдеуді, (1) жүйенің үшінші теңдеуінен -ге көбейтілген (2) теңдеуді, т.с.с. алып тастаймыз. Нәтижесінде үш теңдеуден тұратын жүйе аламыз:

(1^/)

мұндағы коэффициенттері формуласымен есептеледі.

(1^/) жүйенің бірінші теңдеуінің коэфициенттерін – негізгі элементке бөліп, келесі теңдеуді аламыз:

, (2^/)

мұндағы .

Енді -ні -ді жойғандағыдай жойып, келесі теңдеулер жүйесіне келеміз:

(1^//)

мұндағы .

(1^//) жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін – негізгі элементке бөліп, аламыз:

, (2^//)

мұндағы .

-ті жоғарғыдағыдай (1^//) жүйеден жойып, алатынымыз:

, (1^///)

мұндағы .

Бұдан

. (2^///)

Қалған белгісіздер (2^/), (2^//) және (2) теңдеулерден біртіндеп анықталады.

Сонымен, сызықты жүйені Гаусс әдісімен шешу процессі үшбұрышты матрицалы (2), (2^/), (2^//), (2^///) эквивалентті жүйені құруға әкеледі. Әдісті қолданудың қажетті және жеткілікті шарты барлық «негізгі элементтерінің» нөлден өзгешелігі.

15.Сатж берілген. Жай итерацияның алгоритмін көрсет және негізде.

2X₁+5X₂=11 Х₁=5,5

3X1-X₂=2 Х₂=-2

X₁=5,5-2,5х₂

X₂=-2+3х₂

X₁=5,5+5=10,5

X₂=-2+16,5=14,5

X₁=5,5-2,5*14,5=30,75

16.Лагранж интерполяциялық формуласын бірқалыпты түйіндер үшін қолдануға бола ма? Болса, оның түрі қалай өзгереді. Ал егер болмаса - неліктен?Жоғарыда айтылған Ньютон, Гаусс, Бессель және Стирлинг интерполяциялық формулалары тек бір бірінен бірдей қашықтықта жатқан түйіндер үшін ғана жарамды. Ал түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы әр түрлі болса, онда жалпыланған интерполяциялық формула қажет. Ондай формула – Лагранж интерполяциялық формуласы. Айталық кесіндісінде аргументтің әртүрлі мәндері берілсін және функциясының сәйкес мәндері де белгілі болсын. Бізге, дәрежесі -нен аспайтын және берілген түйіндерінде функциясының сәйкес мәндеріне тең болатын, яғни шарты орындалатын, полиномын құру керек.

Алдымен келесі есебін: (6) қанағаттандыратын полиномын құрайық, мұндағы Кронекер өрнегі.

Іздеп отырған полиномымыз нүктелерінде нөлге айналатындықтан, оны келесі түрде жазуға болады

(7)

мұндағы тұрақты коэффициент. Енді (7) формулада деп алсақ, және болатынын ескерсек, онда алатынымыз:

.

Бұдан . Осы мәнді (7) формулаға қойсақ алатынымыз:

. (8)

Енді шартын қанағаттандыратын полиномын табайық. Бұл полином келесі формуламен анықталады . (9)

Расында да, біріншіден, осы құрылған полиномның дәрежесі -нен артпайды, және, екіншіден, (6) шарт орындалғандықтан, алатынымыз:

.

Енді, (9) формулада -ті орнына қойып, (8) формуладан алатынымыз:

. (10)

Осы (10) полином формуласы – Лагранж интерполяциялық формуласы.

Енді Лагранж полиномының жалғыздығын дәлелдейік. Ол үшін кері жоримыз. Айталық полиномы полиномынан өзгеше және дәрежесі -нен үлкен емес бола тұрып, шартын қанағаттандырсын. Онда полиномының дәрежесі де -нен артпайды және нүктелерінде нөлге тең болады, яғни , осылай болуы тепе-теңдігінен шығады, яғни олардың ( пен -тің) бірдей анықталатындығынан шығады. Бұдан . Лагранж полиномының дербес жағыдайы: егер интерполяция түйіндерінің ара қашықтықтары бірдей болса, онда Лагранж интерполяциялық полиномы Ньютон интерполяциялық полиномымен бірдей болады.

Тіпті, осы лекцияда көрсетілген барлық интерполяциялық формулаларын, түйіндерді таңдау арқылы, Лагранж интерполяциялық формуласынан алуға болады.

(10) Лагранж формуласының ықшам түрін көрсетейік. Ол үшін келесі белгілеулерін енгізейік . Осы өрнекті дифференциалдап, алатынымыз:

. Енді десек, онда . Ендеше (10) өрнектен алатынымыз: . (11) Лагранж формуласының басқа интерполяциялық формулаларынан ерекшелігі: бұл формулаға мәндері айқын кіреді.

17.Бір сызықсыз теңдеу үшін жай итерация әдісі. Есептеу алгоитмін блок-схема түрінде жазыңыз.

18.Рунге Кутт әдісінің блок-схемасын салыңыз.

19. Эйлер әдісі арқылы үшін тап:

, y(0)=1 , h=0.1 ,

=1

1+0.1* =1.005

=1.01505

20.Жақсартылған Эйлер әдістері.

(1)

есебін қарастырайық. кесіндісінде

нүктелер жиынын (торды) алайық. шешімі мәндерінінің жуық шешімінің айырымдылық схемасын жоғарыда алынған торда құрайық:

(2)

Бұл схеманың аппроксимация (жуықтау) реті (жуықтау дәлдігі) 1-ге тең. Егер есептелсе, онда

(3)

нүктесін нүктесіне, жазықтығында дифференциалдық теңдеуінің, нүктесінен өтетін, интегральдық қисығына жанама бойымен жылжытуы.

Осы айтылған әдіс – Эйлер әдісі деп аталады.

Егер функциясы тікбұрышында Липшиц шартын қанағаттандырса, яғни , тұрақты шама және теңсіздігі орындалса, тұрақты шама, онда шешімінің қателігінің бағасы төмендегідей болады

. (4)

Ал, іс жүзінде, алдымен -ді қадамымен және -ді қадамымен есептейді де қателігінің бағасын былай анықтайды:

. (5)