Теорема 1. Егер

(1)

сызықты жүйе үшін

(2)

шарты орындалса, мұндағы онда (1) жүйені шешудің Зейдель процесі осы жүйенің жалғыз шешіміне, кез-келген бастапқы векторымен, жинақталады. (Дәлелдеусіз).

нормасы бойынша Зейдель процесі жуықтау қателігінің бағасы

мұндағы .

10.Сатж үшін Зейдель итерация әдісінің алгоритмін блок-схема түрінде жаз.

Айталық жүйесі берілсін. Кез-келген жуықтауларын алдық дейік. Енді түбірлерінің -шы жуықтаулары белгілі деп түбірлерінің -ші жуықтауларын келесі формуласымен есептейміз

, итерация нөмірі.

Зейдель әдісі, қарапайым итерация әдісіне қарағанда, жақсы (тез) жинақтылықты береді. Бірақ-та өте көп есептеулерді қажет етеді. Қарапайым итерация әдісі жинақталмаған жағдайларда да Зейдель әдісі жинақталуы мүмкін. Зейдель әдісінің қарапайым итерация әдісінен жайырақ жинақталатын кездері де болады. Тіпті, қарапайым итерация әдісі жинақталып, Зейдель әдісі жинақталмайтын жағдайлар да болады.

11.Сатж үшін Зейдель итерация әдісінің жинақталуының шарттары. Қателік бағасы.Мысал.

Айталық жүйесі берілсін. Кез-келген жуықтауларын алдық дейік. Енді түбірлерінің -шы жуықтаулары белгілі деп түбірлерінің -ші жуықтауларын келесі формуласымен есептейміз

, итерация нөмірі.

Зейдель әдісі, қарапайым итерация әдісіне қарағанда, жақсы (тез) жинақтылықты береді. Бірақ-та өте көп есептеулерді қажет етеді. Қарапайым итерация әдісі жинақталмаған жағдайларда да Зейдель әдісі жинақталуы мүмкін. Зейдель әдісінің қарапайым итерация әдісінен жайырақ жинақталатын кездері де болады. Тіпті, қарапайым итерация әдісі жинақталып, Зейдель әдісі жинақталмайтын жағдайлар да болады.

Зейдель процесі жинақталуының жеткілікті шарттары

Теорема 1. Егер

(1)

сызықты жүйе үшін

(2)

шарты орындалса, мұндағы онда (1) жүйені шешудің Зейдель процесі осы жүйенің жалғыз шешіміне, кез-келген бастапқы векторымен, жинақталады. (Дәлелдеусіз).

нормасы бойынша Зейдель процесі жуықтау қателігінің бағасы

мұндағы .

12.Ньютонның 1-ші және 2-ші интерполяциялау формулалары үшін қателік бағалары.Мысал.

Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы.Есептің қойылуы. Айталық функциясының, тәуелсіз айнымалылары бір-бірінен бірдей қашықтықта жатқан мәндерінде, интерполяция қадамы, мәндері берілсін. Дәрежесі -нен аспайтын және нүктелерінде -ге тең болатын, яғни , (1) орындалатын полиномын табу (құру) керек.

(1)-ші шарты келесі шартқа эквивалентті

(2)

Ньютон мырза полиномды келесі түрде іздеген

. Жалпыланған дәрежені қолдансақ

. (3)

полиномының коэффициенттерін анықтайық. Ол үшін деп алып, (3) формуладан алатынымыз:

.

коэффициентін анықтау үшін бірінші ақырлы айырымын құрайық

. Енді деп алып, табатынымыз: . -ні табу үшін екінші ақырлы айырымын құрамыз, яғни -ті есептейміз:

. Енді деп алып, табатынымыз: . Осы процесті жалғастыра отырып, барлығын табамыз

, мұнда .

коэффициенттерін (3) формулаға қойып, Ньютонның бірінші интерполяцияляқ полиномын аламыз

(4)

Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы.

Есептің қойылуы өзгермейді, яғни Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы сияқты формула табу керек. Мұнда да деп аламыз да, интерполяциялық полиномды келесі түрде іздейміз