8.Сатж үшін итерация әдісінің мағынасы. Мысалдар. (1)
,
,
,
деп жорып, (1) жүйенің бірінші теңдеуін
-ге
қатысты, екіншісін –
-ге
қатысты және т.с.с. шешейік. Нәтижесінде
келесі эквивалент жүйесін аламыз:
(2)
мұндағы
және
егер
.
арқылы (2) жүйесін мына түрде жазайық:
(2')
(2')
жүйесін біртіндеп жуықтау әдісімен
шешеміз. Нөлдік жуықтау ретінде
аламыз. Ары қарай,
(бірінші жуықтау)
(екінші жуықтау) және т.с.с.
(3)
Егер
шегі
болса, онда бұл шек (2) жүйенің шешімі
болады. Шынында да, (3) теңдеуінде шекке
көшсек:
немесе
яғни
–
шектік элемент (2') шешімі болады, онда
ол (1) жүйенің де шешімі.
(3) теңдеулерін ашып жазсақ,
(3')
орындалу
үшін,
деп алу керек, мұндағы
.
Онда (1) жүйеден
,
мұндағы
,
.
(3) және (3') итерация әдісі деп аталады.
(3)
итерация процесі жақсы жинақталады,
яғни (1) жүйе түбірлерін берілген дәлдікпен
алу үшін жуықтау саны көп болмайды, егер
матрицасының элементтері абсолют
шамасы бойынша өте аз болса. Басқаша
айтқанда, итерация процесін тиімді
қолдану үшін (1) жүйенің диагональ
элементтерінің модулдері осы жүйенің
диагональ емес коэффициенттерінің
модулдерімен салыстырғанда өте үлкен
болуы керек.
Жинақталатын
итерация процесі өзін өзі түзету
қасиетіне ие, яғни есептеулердің кейбір
қателіктері соңғы нәтижеге ықпалын
тигізбейді, онда қате жуықтауды жаңа
бастапқы вектор (
)
деп қарастыруға болады.Кейбір жағдайда
жуықтауды есептегеннен олардың айырмасын
есептеген ыңғайлы. Белгілеулер еңгізіп,
(3) формуладан алатынымыз:
(4)
(5)
(4)
теңдіктен (5) теңдікті алсақ
,
яғни
,
(6)
(7)
деп
қабылдасақ, онда онда
-ші
жуықтау
(8)
егер
,
онда (6) формула
болған жағдайда да орындалады. Керісінше,
(8) өрнек
болған жағдайда орындалмайды
1) егер
,
онда
және
; 2) егер
,
онда табатынымыз:
және
,
деп алатынымыз:
.
9.Сатж үшін жай итерация әдісінің жинақталуының шарттары. Қателік бағасы.
Айталық
жүйесі берілсін. Кез-келген
жуықтауларын алдық дейік. Енді түбірлерінің
-шы
жуықтаулары
белгілі деп түбірлерінің
-ші
жуықтауларын келесі формуласымен
есептейміз
,
итерация
нөмірі. Зейдель
әдісі, қарапайым итерация әдісіне
қарағанда, жақсы (тез) жинақтылықты
береді. Бірақ-та өте көп есептеулерді
қажет етеді. Қарапайым итерация әдісі
жинақталмаған жағдайларда да Зейдель
әдісі жинақталуы мүмкін. Зейдель әдісінің
қарапайым итерация әдісінен жайырақ
жинақталатын кездері де болады. Тіпті,
қарапайым итерация әдісі жинақталып,
Зейдель әдісі жинақталмайтын жағдайлар
да болады.
Зейдель процесі жинақталуының жеткілікті шарттары