54. Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есептерін шешудің торлық әдісі.

Ақырлы айырымдар әдісі (торлық әдісі) ертеден Эйлердің сәйкес еңбектерінен белгілі. Алайда бұл әдістің тәжірибелік қолданылуы өте көп көлемде қолмен есептеуді қажет ететіндіктен ол кездерде қолданылуы шектелген еді. Ол шектеулер шешілуі ұзақ уақытты талап ететін алгебралық теңдеулер жүйесінің ауқымды өлшемділігмен байланысты болатын. Қазіргі уақытта , тез жұмыс істейтін компьютерлердің пайда болуымен торлық әдіс математикалық физика және басқа есептерді шешуде кеңінен қолданыла бастады. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің дербес туындыларына қатысты шектік есептердің жуықтаған сандық мәніне арналған торлық әдістің мәні мынада:жазықтықтағы мән ізделінетін А облысында, обласы құрылады. бірдей S (S – торлар қадамы) өлшемді, және А облысының жуықтауы болатын ұяшықтардан құрылуы керек.

Берілген дифференциалдық теңдеудің дербес туындылары торының түйіншектерінде сәйкес келетін ақырсыз-өспелі теңдеумен алмастырылады.

Шекаралық шартты ескере отырып, облысының шекаралық түйіншектерінде ізделінетін шешімнің мәні табылады.

Алынған ақырлы-өспелі алгебралық теңдеуді шеше отырып, торының түйіншектерінде ізделінді функцияның мәнін,яғни шектік есептің жуықталған сандық мәнін аламыз. торлық облысын таңдау нақты есепке байланысты, бірақ А облысының контурын қамту керек.

Лаплас теңдеуін қарастырамыз:

(1)

мұндағы p ( x, y ) – ізделінді функция, x, y – жазық облыстың тікбұрышты координаталары. Осыдан оған сәйкес ақырлы-өспелі теңдеуді аламыз.

теңдеудегі және дербес туындыларын ақырлы-өспелі қатынастармен алмастырамыз.

p ( x, y ) қатысты (1) теңдеуді шешу арқылы,

(2)

аламыз.

түрдегі теңдеулер саны торлық облысындағы түйіншектер санына тең. Түйіншектер саны артқан сайын, қателік аз болады. Алайда қадамы азайған сайын, теңдеулер жүйесінің өлшемділігі артатынын ескеру керек. Сондықтан үлкен қадаммен орындап көріп, қадам санын бірте-бірте кішірейту керек.

55. . y'=x+y, y(0)=1, (мұнда x айнымалысы [0; 0,9] интервалында анықталған) есебінен y(0,17) мәнін Ньютон интерполяциялық формуласы арқылы табыңыз. y(x_i) мәндерін h=0,3 қадаммен Эйлер әдісі арқылы тап.

56. Айталық -дің жуық мәндері нүктелерінде есептелген (белгілі) болсын. Енді мәндерін мәндерінде есептеу (табу) керек. Ол үшін бүтін санын алап, келесі өрнектерді есептейміз:

(8)

Осыдан кейін

(9)

және коэффициенттерін берілген үшін аппроксимация реті соғұрлым жоғары болатындай етіп таңдаймыз. Егер -ді білсек, онда коэффициенттерін есептей аламыз. Сонан кейін