49. Адамс әдісінің блок-схемасын көрсет.

50. Мильн әдісі.

y’=f(x,y), (1)

y(x₀)=y₀ (2)

x_i=x₀+ih, y_i=y(x_i), y_i’=f(x_i,y_i), i=0,1,2,…

Мұнда шешімнің алғашқы төрт мәні y₀, y₁,y₂,y₃ белгілі болсын делік. Онда y_i’=f(x_i,y_i), i=0,1,2,… мәндері де ((1) теңдеуден) белгілі болады.

y_i=y(x_i), i=4,5,6,… мәндерін келесі схема бойынша біртіндеп табамыз, яғни y_i-1, y_i-2, y_i-3, y_i-4 белгілі десек, онда:

1. y_i-ге ең жақын бірінші жуықтауы y_i⁽¹⁾-ді келесі формуласымен есептейміз

(3)

2. y_i⁽¹⁾ мәнін (1)-ге қойып оның сәйкес туындысын табамыз, яғни y_i’⁽¹⁾=f(x_i,y_i⁽¹⁾) есептейміз;

3. Екінші жуықтауы yi(2)-ні есептейміз

(4)

Енді y_i⁽²⁾ мәнінің абсолюттік қателігі жуық шамамен келесі формуласымен анықталады

(5)

Егер болса, мұндағы -шешімінің берілген шектік қателігі, онда y_i≈y_i⁽²⁾ деп және y_i’≈f(x_iy_i⁽²⁾) деп ұйғаруға болады.

Мильннің (3)-(5) формулаларын қорытып шығару. X_k нүктесінде y’ функциясына Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласын пайдаланып, және үшінші ретті ақырлы айырымдарменшектеле отырып, табатынымыз:

(6)

Мұндағы . Енді (6) формуласында k=i-4 деп алып, (6)-ның әр мүшесін х айнымалысы бойынша х_i-4-тен х_i-ге дейін интегралдаймыз:

Енді екенін ескерсек және dx=hdq болғандықтан, интегралдап, алатынымыз

). (7)

Енді , ,

болғандықтан (7) өрнектеп алатынымыз Мильннің бірінші, яғни (3) формуласы

(8)

Мильннің екінші формуласын қорытып шығару үшін (6) формуласында k=i-2 деп оның екі жағын да х айнымалысы бойынша х_i-2-ден х_i-ге дейін интегралдаймыз:

(9)

Енді , мәндерін (10)-ға қойсақ Мильннің екінші формуласын (4) аламыз, яғни

, i=2,3,… (10)

Шешімнің екінші жуықтауы у_i⁽²⁾ –дің қателігі -ді қорытып шығару үшін, яғни (5) формуласын алу үшін Мильннің бірінші және екінші формуласындағы ⁽¹⁾ және ⁽²⁾ қателіктерінің басқа мүшелерін бағалаймыз. Ньютонның (6)-шы интерполяциялық формуласындағы алынып тасталған төртінші ретті ақырлы айырымдарын ескерсек, яғни бесінші ретті ақырлы айырымдар дәлдігімен табамыз

(11)

(12)

Ұзындығы 4һ-қа тең интервалда | |=const десек онда . болғандықтан және де екенін ескерсек, онда

.

Егер һ жеткілікті аз шама болса, онда болады. Онда (12) формуласынан a≤x≤b, мәндері үшін [a,b] аралығынды y_i=y(x_i) шешімінің абсолюттік қателігі

,мұндағы , яғни Мильн әдісінің қателігі О(h⁴).

51. Итерациялық Эйлер әдісін блок -схема арқылы келтір.

52. Екінші ретті теңдеулерге қойылған шекаралық есептерін шешудің айырымдылық әдістері

Дифференциалдық теңдеулері айырымдық әдістермен шешу – алдымен тор енгізуден басталады. Сондықтан да олар кейде торлық әдістер деп те аталады. Айырымдық торды төменде келтірілген мысал арқылы түсіндірейік.

Айталық,   аралығында мынадай шекаралық есеп берілсін:

                           (1.1)

                                (1.2)

Бұл есеп бойынша   аралығында (1.1) теңдеуін, ал   жңне   болғанда, (1.2) шекаралық шарттарын қанағаттандыратын   функциясын анықтау керек. Осы қойылған есеп үшін   аралығында айырымдық тор   түрінде енгізіледі. Анығырақ айтқанда,   аралығында бір – бірінен   қашықтықта жатқан   нүктелері алынады. Айырымдық тор   параметріне тәуелді, ал   мейлінше өте аз шамаға ие болған сайын,   торы соншалықты тығыз болады. Әдетте,   нүктелерін айырымдық тордың тораптары деп атайды.

Айырымдық тор енгізудің нәтижесінде   аралық тор облысы деп аталатын   нүктелер жиынымен алмастырылады, мұндағы   - тораптар жиыны. Әдетте (1.1) – (1.2) есебінің жуық шешімін осы   облысында анықтау талап етіледі.

Айталық   функциясы (1.1) – (1.2) есебінің   обылысында анықталған нақты шешімі болсын. Онда

  (1.3)                                   сандары осы   функциясының сәйкес    тораптардағы мәндері болады.  Бұл жағдайда (1.3) сандар жиыны   облысында анықталған торлық функция деп аталады да   арқылы белгіленеді. Ал тараудың басында айтылғандай, (1.1) – (1.2) есебінің   жуық шешімі де   облысының   тораптарында анықталған торлық функция түрінде анықталады. Ол   нүктелеріне сәйкес келетін   сандар жиынынан тұрады және   деп белгіленеді. Демек, торлық функция үзікті аргументтің функциясы, яғни  Біз бұл жерде екі торлық функцияны қарастырайық:   - (1.1) – (1.2) есебінің   тораптарындағы дәл шешімі; ал   - (1.1) - (1.2) есебінің   тораптарындағы жуық шешімі. Жалпы жағдайда  , яғни  . Егер   саны жоғарыдан шектелген болса, онда   және   торлық функцияларын векторлық функциялар деп қарастыруға болады:   .

Жоғарда баяндалғандай,   - айырымдық теңдеулердің шешімі. Ал бұл шешім   жағдайда дифференциалдық тењдеулердің   облысында анықталған   дәл шешімінде «жақын» болуы тиіс деген талап – табиғи нәрсе. Енді осы ұғымды қандай мағынада түсіну керек екендігіне тоқтала кетейік. Ол үшін торлық функцияның нормасы деген ұғым енгіземіз.

Анықтама. Егер   торлық функциялар жиынында   сандық функциясы үшін

1.  ;

2.  ;

3.                                                                     

шарттары орындалса, онда   шамасы   торлық функцияның нормасы деп аталады жңне   арқылы белгіленеді. Анықтаманың аксиомаларын қанағаттандыратын норманы әр түрлі жолдармен енгізуге болады. Мәселен

(1.4)                                   немесе

                             (1.5)                                              сандық функциялары норма бола алады. Олар функциялар теориясында белгілі    және    нормаларына сәйкес келеді.

Бұдан ары   және   нормалары (1.4) түріне енгізілген деп есептейміз.

53. 2-ретті дифференциалдық теңдеу үшін қуалау әдісін блок-схемамен көрсет.