19. Множество. Операции над множествами. Свойства операции над множествами.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком, или - совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое.
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.
Некоторые виды множества:
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество — множество, содержащее все мыслимые объекты. Данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».
Частично упорядоченное множество, вполне упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.
Операции на множествами:
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства операций над множествами.
Справедливы следующие свойства операций над множествами:
,
где 0 -пустое множество.
,
где 0 - пустое множество.
,
если 
, Если
20.Понятие счетного множества. Теория вещественных чисел.
Счетное множество- есть бесконечное множество элементы которого можно пронумеровать натуральными числами, или это множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Иногда счётными называются множества равномощные любому подмножеству множества натуральных чисел, то есть все конечные множества тоже считаются счётными.
Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.
Свойства:
1.Любое подмножество счётного множества не более чем счётно.[1]
2.Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
3.Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4.Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5.Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Примеры счетных множеств:
Простые числа Натуральные числа, Целые числа, Рациональные числа, Алгебраические числа, Кольцо периодов, Вычислимые числа, Арифметические числа.
Теория вещественных чисел.
(Вещественные = действительные – памятка для нас, пацаны.)
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными
Теорема: Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2
Рациональные числа: ½, 1/3, 0.5, 0.333.
Иррациональные числа: корень из 2=1,4142356… , π=3.1415926…
Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами:
1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений a<b либо a>b
2. Множество R плотное: между двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т.е чисел, удовлетворяющих неравенству а<x<b.
Там еще 3-е свойство, но оно огромное, сорри