§3. Эмпирическая функция распределения

Пусть имеем статистическое распределение выборки по признаку , заданное вариационным рядом или таблицей распределения частот. Обозначим через число вариант, которые меньше, чем .

Опр. Эмпирической функцией распределения называется функция , равная относительной частоте события .

Таким образом, или (учитывая данные табл.2).

§4. Точечные оценки. Выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основе выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

,

где – варианта выборки, – частота варианты, – объем выборки.

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

.

Для расчетов также может быть использована формула

,

где – выборочная средняя квадратов вариант выборки, т.е. .

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии: .

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, в противном случае – смещенной.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на и получают: .

Величину называют несмещенной или “исправленной” выборочной дисперсией.

“Исправленное” среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из “исправленной” выборочной дисперсии. Оно является несмещенной оценкой для выборочного среднего квадратического отклонения.

§5. Интервальные оценки. Доверительный интервал

Точечная оценка не совпадает (за исключением редких случаев) с истинным значением оцениваемого параметра, особенно при выборке малого объема. В этом случае целесообразно использовать интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя частями – концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неизвестного параметра . Оценка определяет тем точнее, чем меньше , т.е. чем меньше в неравенстве , где .

Т.к. - случайная величина, то и разность - случайная величина. Поэтому неравенство при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра называется вероятность , с которой оценивается неравенство .

Обычно задается надежность и определяется . Чаще всего надежность задается значениями от 0,95 и выше. Неравенство можно записать в виде: .

Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .