Вронскиан и его свойство
Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть – два его частных решения на промежутке .
Определитель вида
называется
вронскианом
решений
(по имени польского математика
Ю.Вронского).
Конкретный вид функции
определяется видом решений
.
Однако, каковы бы ни были
,
функциям
присуще одно общее свойство.
Теорема 2. Либо вронскиан тождественно равен нулю при всех из промежутка , либо он ни при одном значении в ноль не обращается.
Доказательство. Запишем в виде
(3.6)
и продифференцируем эту функцию:
=
.
(3.7)
Составим
теперь уравнение, связывающее
и
.
Для этого проведем следующие рассуждения.
Справедливы тождества
,
(3.8)
.
(3.9)
Умножим
тождество (3.8) на
,
а (3.9) – на
и сложим полученные тождества. В
результате получим
.
Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что удовлетворяет уравнению
.
(3.10)
Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10) в виде
или
.
Отсюда
(3.11)
или
.
(3.12)
Тогда
.
(3.13)
Заметим,
что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны
предположить, что
.
Однако в итоговой формуле (3.13) это
ограничение можно снять, так как
очевидным
образом является решением уравнения
(3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо
функция
нигде в ноль не обращается (при
),
либо
(при
).
Теорема доказана.
Ясно, что обращение или не обращение вронскиана в ноль зависит от того, на каких решениях он построен. В следующем пункте мы выделим в отдельные классы пары решений , для которых и пары, для которых нигде не обращается в ноль.
Линейно зависимые и линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения
Пусть – какие-либо частные решения однородного уравнения (3.2) на промежутке . Будем говорить, что являются линейно независимыми на промежутке , если
.
(3.14)
В противном случае, т.е. если
,
(3.15)
эти решения называются линейно зависимыми на промежутке .
В качестве примера рассмотрим снова уравнение (2.3):
.
Это линейное однородное уравнение второго порядка. Легко проверить, что у него есть следующие частные решения:
,
,
.
Решения являются линейно независимыми. Действительно,
.
Точно
также линейно независимыми являются
решения
.
А решения
являются линейно зависимыми, так как
.
Теорема 3. Для того, чтобы частные решения линейного однородного уравнения (3.2) были линейно независимыми на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы соответствующий им вронскиан нигде на промежутке не обращался в ноль.
Доказательство. Рассмотрим функцию и продифференцируем ее:
.
(3.16)
Необходимость.
Пусть решения
линейно независимы, т.е. справедливо
соотношение (3.14). В силу соотношения
(3.14)
можем утверждать, что
не равна тождественно 0 при
.
(Известно,
что если для какой-либо функции
справедливо тождество
при
,
то функция
при
).
Но
тогда из (3.16) следует, что
вронскиан
ни при каком
в ноль не обращается.
Достаточность. Пусть нигде на промежутке в ноль не обращается. Воспользуемся снова формулой (3.16). Из нее следует, что
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.