Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть приведено к виду
(1.62)
Чтобы
найти общее решение (или общий интеграл)
уравнения (1.62), введем новую функцию
,
так что
.
Тогда
и уравнение (1.62) можно записать в виде
.
(1.63)
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными:
.
Проинтегрируем его:
;
.
(1.64)
Получен
общий интеграл уравнения (1.63). После
определения первообразной, стоящей в
левой части (1.64), и замены
на
получим общий интеграл уравнения (1.62).
Пример 1.10. Найти общее решение уравнения
.
(1.65)
Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде
,
(1.66)
поделив
числитель и знаменатель его правой
части на
.
Вводим новую функцию
,
и уравнение (1.66) приобретает вид
.
Преобразуем его:
,
или
.
Разделяя здесь переменные, получаем
.
(1.67)
Интегрируем (1.67). Тогда
,
откуда
,
или
.
Отсюда
.
Заменяя здесь на , находим окончательно
.
Это общий интеграл уравнения (1.65).
Пример 1.11. Найти общее решение уравнения
.
(1.68)
Решение. Сделаем замену искомой функции по формуле и запишем уравнение (1.68) следующим образом:
или
,
откуда
.
Значит
или
.
Отсюда находим, что
при
,
или
.
Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид
.
Пример 1.12. [3] Найти общее решение уравнения
.
(1.69)
Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно, преобразуем его к виду
.
(1.70)
Теперь сделаем замену . Получим
или
.
(1.71)
«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его. Это дает
.
(1.72)
Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим, что
.
Тогда
.
В результате формула (1.72) приобретает вид
или
.
Это
общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя
в нем
на
и
на
,
находим общий интеграл уравнения (1.69):
.
Решение задачи Коши для различных типов уравнений первого порядка
Пример 1.13. [4] Решить задачу Коши:
,
(1.73)
.
(1.74)
Решение.
Сначала
получим общий интеграл уравнения (1.73).
Это – однородное уравнение (его можно
рассматривать и как уравнение Бернулли,
где
).
Введем функцию
.
Тогда
,
и уравнение (1.73) примет вид
(1.75)
или
.
(1.76)
Интегрируя (1.76), получим
.
Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид
.
(1.77)
Теперь подставим в(1.77) значения и из начального условия (1.74). Получим для определения уравнение
,
откуда
.
Тогда искомый частный интеграл уравнения
(1.73) имеет вид
.
Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73), (1.74) имеет вид
.
Пример 1.14. Решить задачу Коши:
,
(1.78)
.
(1.79)
Решение. Уравнение (1.78) является уравнением Бернулли ( ). Найдем его общее решение. Положим . Уравнение (1.78) приобретает вид
.
(1.80)
Требуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению
.
При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетворяет решение . Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахождения :
или
.
(1.81)
Интегрируя (1.81), получаем
.
Тогда,
поскольку
,
общий интеграл уравнения (1.78) имеет вид
.
(1.82)
Подставим начальные значения и из (1.79) в общий интеграл (1.82). Получим
.
Тогда решение задачи (1.78), (1.79) имеет вид
.
Пример 1.15. Решить задачу Коши:
,
(1.83)
.
(1.84)
Решение. Прежде всего, определим тип уравнения (1.83). Для этого представим его в виде
или
.
(1.85)
Уравнение
(1.85) является линейным относительно
функции
.
Ищем его общее решение в виде
.
Тогда из (1.85) следует
.
(1.86)
Потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению
или
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение:
,
,
.
(1.87)
Подставим
(1.87) в (1.86) и получим уравнение для
определения
:
или
.
Его общее решение имеет вид
.
Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующим образом:
.
(1.88)
Подставим в (1.88) начальные значения и из (1.84). Получим
,
откуда
.
Таким образом, частный интеграл для
задачи Коши (1.83), (1.84) имеет вид
.