Обобщенное линейное уравнение (уравнение Бернулли)
Уравнение Я. Бернулли имеет вид
(1.39)
где
и
(в случае
уравнение (1.39) превращается в уравнение
с разделяющимися переменными, а в случае
— в линейное уравнение).
Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бернулли, что и линейное уравнение (1.23), то есть реализуется следующая схема.
Ищем решение в виде произведения двух функций
. (1.40)
Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем уравнение
(1.41)
и требуем, чтобы была частным решением уравнения
. (1.42)
Тогда
.
(1.43)
Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и получаем для определения уравнение с разделяющимися переменными
.
(1.44)
Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяем переменные и получаем
.
Тогда
(1.45)
Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобно в (1.45) заменить функцию по формуле
,
полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид
.
(1.46)
Пример 1.7. Найти общее решение уравнения
.
(1.47)
Решение.
Это
– уравнение Бернулли с
.
Применяем метод Бернулли и ищем решение
в виде
.
Тогда уравнение (1.47) приобретает вид
.
(1.48)
Требуем,
чтобы
удовлетворяла уравнению
В
примере 1.4 показано, что решением этого
уравнения является функция
.
Тогда из (1.48) получаем уравнение для
нахождения
:
или
.
(1.49)
Интегрируем (1.49):
или
.
(1.50)
Учитывая,
что
,
получим из (1.50) общий интеграл (1.47) в виде
или
.
(1.51)
Пример 1.8. Найти общее решение уравнения
.
(1.52)
Решение.
Это
– уравнение Бернулли, где
.
Согласно методу Бернулли полагаем
.
Тогда уравнение (1.52) принимает вид
.
(1.53)
Требуем,
чтобы
удовлетворяла уравнению
При
решении примера 1.5 показано, что решением
этого уравнения является функция
.
Тогда из (1.53) получаем уравнение для
нахождения
:
или
.
(1.54)
Интегрируем (1.54). Получаем
.
(1.55)
Найдем
.
Для этого представим правильную дробь
в виде суммы простейших дробей
.
Определим
коэффициенты
и
из тождественного равенства многочленов
,
откуда
или
.
Таким образом,
.
Тогда формула (1.55) приобретает вид
.
Учитывая,
что
,
а значит
,
получим
,
откуда
.
Пример 1.9. [4] Найти общее решение уравнения
.
(1.56)
Решение.
Это
– уравнение Бернулли, где
.
Ищем его решение в форме
.
Тогда уравнение (1.56) приобретает вид
.
(1.57)
Требуем, чтобы удовлетворяла уравнению
(1.58)
Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися переменными:
,
,
,
Подставляем найденную функцию в (1.57). Получаем
или
.
(1.59)
Интегрируем (1.59):
.
(1.60)
Найдем
первообразную, стоящую в правой части
(1.60), интегрируя по частям. Положив
,
найдем
и
.
Тогда
.
Формула (1.60) принимает вид
.
(1.61)
Учитывая,
что
или
,
определим из (1.61) общий интеграл уравнения
(1.56) в виде
.