16. Объясните, как определить центр тяжести простых и сложных плоских фигур.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом его положении в пространстве.

Для вычисления координат центра тяжести геометрических плоских фигур используются следующие методы:

Метод симметрии: если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на оси симметрии; если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в точке их пересечения; центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разделения: сложные сечения разделяют на минимальное количество простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

Метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Положения центра тяжести простых плоских фигур:

Отрезок – середина.

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1 : 2 от основания.

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Другая координата центра тяжести вычисляется по формуле: у_с = 4R/3π.

Положения центра тяжести сложных плоских фигур: задачи на определение положения центра тяжести плоской фигуры решаются в следующей последовательности:

а) вводится система координат (если она не задана в условии задачи);

б) определяются площади всех частей тела, включая пустоты, и координаты их центров тяжести; площади) пустот подставляются в эти формулы со знаком «минус»

в) координаты центра тяжести определяются по формулам:

; 

17. Объясните, как определить центр тяжести для различных тел.

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве. Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный.

Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где Р – вес всего тела; p_k – вес частиц тела; x_k, y_k, z_k – координаты частиц тела.

Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P = V ∙ γ, p_k = v_k ∙ γ, где γ – вес единицы объёма, V – объем тела. Подставляя выражения P, p_k в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель γ, получим:

Точка С, координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема.

Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:

где S – площадь всей пластины; s_k – площадь её части; x_k, y_k – координаты центра тяжести частей пластины.

Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади. Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х:

Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:

Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:

где L – длина линии; l_k – длина ее частей; x_k, y_k, z_k – координата центра тяжести частей линии.

Положение центра тяжести тела можно определить экспериментально. Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий – линий действия сил тяжести, определяет положение центра тяжести тела.