14. Запишите условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.

Произвольно расположенная система сил – пространственная система сил, в которой линии действия составляющих сил расположены произвольно, т. е. линии их действия могут не пересекаться и находиться в разных плоскостях.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из этих осей была равна нулю.

Математически условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил можно записать в виде уравнений:

ΣX = 0; ΣM_x (F_i) = 0;

ΣY = 0; ΣM_y (F_i) = 0;

ΣZ = 0; ΣM_z (F_i) = 0.

Свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, а именно: возможность перемещаться в направлениях трех взаимно-перпендикулярных осей координат и возможность вращаться вокруг этих осей. Таким образом, шести степеням свободы тела в пространстве соответствуют шесть условий равновесия.

Если система сил, приложенных к свободному телу, удовлетворяет всем шести условиям равновесия, то возможность трех перемещений и трех вращений тела под действием сил системы исключена, поэтому тело будет находится в равновесии.

Очевидно, что все выведенные ранее условия равновесия для различных систем сил являются частными случаями условия равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Так как условия равновесия пространственной системы сил справедливы для любых прямоугольных осей координат, то при решении данной задачи систему координат можно изменять, т. е. часть уравнений равновесия составить для одних осей координат, а часть – для измененных. В некоторых случаях этот прием упрощает решение задач.

15. Дайте определение понятию «центр параллельных сил» и объясните, как он находится.

Центр параллельных сил – это точка, вокруг которой поворачивается равнодействующая системы параллельных сил при повороте всех сил системы вокруг своих точек приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол.

Найдем положение центра параллельных сил для системы сил {F_k}, имеющей равнодействующую F.

Пусть e – единичный вектор, параллельный линиям действия сил системы. Любую силу системы можно представить в виде:

где F_k – проекция силы на направление единичного вектора e. Для равнодействующей получаем

Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (теорема Вариньона). Обозначим C – центр параллельных сил. Тогда:

Вынося за скобку общий множитель, получаем:

Повернем все силы системы вокруг своих точек приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол. Вместе с силами в ту же сторону и на тот же угол повернется вокруг точки C равнодействующая системы сил. Так же повернем вокруг точки O вектор e. В результате этой операции вектор e изменил свое направление, вектор a остался неизменным, но по-прежнему a ∙ e = 0. Следовательно, a = 0 т.е.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.