10. Запишите условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.
Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости имеют вид:
Для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.
Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Модуль главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны нулю. Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю.
Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах.
Первая (основная) форма этих уравнений:
Три уравнения равновесия для плоской системы сил соответствует трем возможным степеням подвижности тела в плоскости – двум перемещениям вдоль осей х и у и вращению вокруг произвольной точки плоскости.
При решении многих задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия.
Вторая форма уравнений равновесия. Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить следуюшие уравнения равновесия:
Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.
Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:
При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.
Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.
11. Объясните, как определяются проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси.
Если требуется определить проекции силы Р на три взаимно перпендикулярные оси, то обычно силу проектируют сначала на одну из плоскостей (например, горизонтальную), а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости. При этом нужно обратить внимание на то, что в отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярами, проекция силы на плоскость – величина векторная. Легко заметить, что на трех взаимно перпендикулярных проекциях можно построить прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является проектируемый вектор.
Проекция силы на каждую координатную ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлениями оси и силы.
Из рисунка видно, что проекция на горизонтальную плоскость: Pxy = P ∙ cos α, поэтому: X = P ∙ cos α ∙ cos αx; Y = P ∙ cos α ∙ cos αy и Z = P ∙ cos φz. Если же известны углы φx и φy (на рисунке они не показаны), образуемые вектором Р с осями х и у, то его проекции на эти оси соответственно равны: X = P ∙ cosφx и Y = P ∙ cos φy.
При вычислении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи: проекция положительна: α < 90°; X = P ∙ cos α. Проекция равна нулю: α = 90°; X = P ∙ cos 90° = 0 . Проекция отрицательна: α > 90°; X = P ∙ cos α = –P ∙ cos β, где β – острый угол между линией действия силы и осью.
При решении задач рекомендуется вычислять абсолютное значение проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу.
0
При помощи проекций сил на три оси легко определить равнодействующую системы сил, приложенных к точке.
Для этого необходимо:
1) выбрать расположение осей так, чтобы проекции всех сил определились простейшим образом;
2) найти проекции всех сил на каждую из осей;
3) сложить проекции всех сил на каждую из осей и найти таким образом три проекции искомой равнодействующей на оси: XR = ∑Xi; YR = ∑Yi и ZR = ∑Zi;
4) определить модуль равнодействующей R, как корень из суммы квадратов проекций.
5) определить направление равнодействующей, найдя какие-либо два угла из трех: cos φx = XR/R; cos φy = YR/R; cos φz = ZR/R.