
Контрольная 2
.docx
Контрольная
работа №2
теория
вероятностей и математическая статистика
никитина
дарья сергеевна пин-21д
Задание 1.
Случайная величина Х
распределена по биноминальному закону
с параметрами р=0,4 и n=8. Вычислить
.
Решение:
Для биноминального закона распределения:
Ответ:

Задание 2.
Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, извлечены наудачу и без возвращения 3 шара. Найти математическое ожидание числа черных шаров среди вынутых.
Решение:
Х – число черных шаров среди вынутых может принимать значения: 1,2,3. Х=1, если вытащен 1 черный и 2 белых шара, Х=2, если вытащены 2 черных и 1 белый шар, Х=3, если вытащены три черных шара. Все исходы эксперимента – вытащить любые 3 шара из 5.
Ряд распределения Х:
Х |
1 |
2 |
3 |
|
0,3 |
0,6 |
0,1 |
Ответ: 1,8
Задание 3.
Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана следующим образом:
Найти а
и

Решение:
Ответ:
;

Задание 4.
Случайная величина Х
распределена по показательному закону
с математическим ожиданием 0,5. Найти
плотность распределения вероятностей
случайной величины

Решение:
Для показательного закона распределения:
Ответ:

Задание 5.
Известно, что на данном заводе брак составляет в среднем 1% для данного вида изделий. Считая справедливым закон редких явлений, вычислить вероятность того, что из 200 изделий, поступивших с завода, окажется не более трех бракованных.
Решение:
Ответ: 0,857123
Задание 6.
Число Х выбирается наудачу из множества Е={1,2,3}. Затем из того же множества выбирается число У большее, или равное Х. Описать закон распределения случайной величины Z=X-Y
Решение:
Найдем совместное распределение Х и У.
Т.к. У больше или равно Х – то:
Х может принимать любое значение с равной вероятностью :1/3
Если Х=1 – то У может принимать с равной вероятностью значения 1,2 или 3, т.е. каждое с вероятностью 1/3
Если Х=2 – то У может принимать с равной вероятностью значения 2 или 3, т.е. каждое с вероятностью 1/2
Если Х=3 – то У может принимать единственное значение 3.
X\Y |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
|
X\Y |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
|
Запишем на пересечениях строк со значениями Х и столбцов со значениями У значения Х-У:
X\Y |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Т,к.
- то Z
может принимать значения -2;-1;0
Z |
-2 |
-1 |
0 |
p |
|
|
|
Z |
-2 |
-1 |
0 |
p |
|
|
|
Ответ:
Z |
-2 |
-1 |
0 |
p |
|
|
|
Задание 7.
Х и У – независимые случайные величины, распределенные по одному закону Рu(2). Вычислить Р(Х+У<3)
Решение:
Х
и У имеют распределение Пуассона с
параметром
.
Ответ: 0,238103
Задание 8.
Случайный вектор (Х,У) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1;0), (1;2), (1;0). Вычислить ковариационную матрицу данного вектора.
Решение:
Площадь
треугольника:
Значит плотность распределения внутри треугольника будет равна:
Плотность распределения случайного вектора:
Ковариационная матрица:
Ответ:
Задание 9.
Доказать композиционную устойчивость биноминального закона В(n;p) при фиксированном p.
Решение:
Х и У – величины, распределенные по биноминальному закону с фиксированным p. Х – число успехов в серии из n испытаний, где вероятность успеха в каждом испытании равна p, У – числу успехов в серии из m испытаний с такой же вероятностью успеха. Значит Х+У – число успехов в n+ m испытаниях с вероятностью успеха р в каждом испытании. А это в свою очередь означает, что Х+У также распределена по биноминальному закону, а биноминальный закон обладает композиционной устойчивостью при фиксированном р.
Ответ: Биноминальный закон В(n;p) при фиксированном p обладает композиционной устойчивостью.
Задание 10.
Число солнечных дней в году
для данной местности является пуассоновской
случайной величиной со средним
значением100 дней. Используя асимптотическую
нормальность закона Пуассона, вычислить

Решение:
А – день будет солнечным
Ответ: 0,0096