Контрольная работа №2

теория вероятностей и математическая статистика

никитина дарья сергеевна пин-21д

Задание 1.

Случайная величина Х распределена по биноминальному закону с параметрами р=0,4 и n=8. Вычислить .

Решение:

Для биноминального закона распределения:

Ответ:

Задание 2.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, извлечены наудачу и без возвращения 3 шара. Найти математическое ожидание числа черных шаров среди вынутых.

Решение:

Х – число черных шаров среди вынутых может принимать значения: 1,2,3. Х=1, если вытащен 1 черный и 2 белых шара, Х=2, если вытащены 2 черных и 1 белый шар, Х=3, если вытащены три черных шара. Все исходы эксперимента – вытащить любые 3 шара из 5.

Ряд распределения Х:

Х	1	2	3
	0,3	0,6	0,1

Ответ: 1,8

Задание 3.

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана следующим образом:

Найти а и

Решение:

Ответ: ;

Задание 4.

Случайная величина Х распределена по показательному закону с математическим ожиданием 0,5. Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

Решение:

Для показательного закона распределения:

Ответ:

Задание 5.

Известно, что на данном заводе брак составляет в среднем 1% для данного вида изделий. Считая справедливым закон редких явлений, вычислить вероятность того, что из 200 изделий, поступивших с завода, окажется не более трех бракованных.

Решение:

Ответ: 0,857123

Задание 6.

Число Х выбирается наудачу из множества Е={1,2,3}. Затем из того же множества выбирается число У большее, или равное Х. Описать закон распределения случайной величины Z=X-Y

Решение:

Найдем совместное распределение Х и У.

Т.к. У больше или равно Х – то:

Х может принимать любое значение с равной вероятностью :1/3

Если Х=1 – то У может принимать с равной вероятностью значения 1,2 или 3, т.е. каждое с вероятностью 1/3

Если Х=2 – то У может принимать с равной вероятностью значения 2 или 3, т.е. каждое с вероятностью 1/2

Если Х=3 – то У может принимать единственное значение 3.

X\Y	1	2	3
1
2	0
3	0	0

X\Y	1	2	3
1
2	0
3	0	0

Запишем на пересечениях строк со значениями Х и столбцов со значениями У значения Х-У:

X\Y	1	2	3
1	0	-1	-2
2	1	0	-1
3	2	1	0

Т,к. - то Z может принимать значения -2;-1;0

Z	-2	-1	0
p

Z	-2	-1	0
p

Ответ:

Z	-2	-1	0
p

Задание 7.

Х и У – независимые случайные величины, распределенные по одному закону Рu(2). Вычислить Р(Х+У<3)

Решение:

Х и У имеют распределение Пуассона с параметром .

Ответ: 0,238103

Задание 8.

Случайный вектор (Х,У) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1;0), (1;2), (1;0). Вычислить ковариационную матрицу данного вектора.

Решение:

Площадь треугольника:

Значит плотность распределения внутри треугольника будет равна:

Плотность распределения случайного вектора:

Ковариационная матрица:

Ответ:

Задание 9.

Доказать композиционную устойчивость биноминального закона В(n;p) при фиксированном p.

Решение:

Х и У – величины, распределенные по биноминальному закону с фиксированным p. Х – число успехов в серии из n испытаний, где вероятность успеха в каждом испытании равна p, У – числу успехов в серии из m испытаний с такой же вероятностью успеха. Значит Х+У – число успехов в n+ m испытаниях с вероятностью успеха р в каждом испытании. А это в свою очередь означает, что Х+У также распределена по биноминальному закону, а биноминальный закон обладает композиционной устойчивостью при фиксированном р.

Ответ: Биноминальный закон В(n;p) при фиксированном p обладает композиционной устойчивостью.

Задание 10.

Число солнечных дней в году для данной местности является пуассоновской случайной величиной со средним значением100 дней. Используя асимптотическую нормальность закона Пуассона, вычислить

Решение:

А – день будет солнечным

Ответ: 0,0096