Суть методу клітинкової розмірності

кількість таких куль відповідає такому співвідношенню , коли , тобто звідки значення розмірності обчислюється так для кожного значення кількості клітинок, даного їх розміру, будують графік функції – залежності кількості від розміру клітинки , де , Відзначені на графіку точки апроксимують прямою лінією. Її рівняння має такий вигляд:

Абсолютне значення параметру відповідає значенню фрактальної розмірності даного часового ряду , тобто

.

Основним методом визначення фрактальної розмірності є метод, запропонований Хаусдорфом. Розмірність множини елементів за означенням Хаусдорфа показує яку кількість «куль» діаметром потрібно для того, щоб в кожній такій кулі знаходився хоча б один елемент множини . Він показав, що

Слайд 8. Фрагменти часового ряду з різним розміром клітинок.

Набір сіток накладених на графічне зображення часового ряду

а) б) в)

Розміри клітинок:

а) – 50 ms і включає два рівні часового ряду,

б) – 75 ms і включає три його рівні,

в) – 100 ms і включає 4 рівні даного часового ряду.

Для визначення фрактальної розмірності використовують декілька розмірів клітинок. Далі підраховують кількість клітинок для кожної сітки, в якій знаходиться хоча б одна точка даного часового ряду. Очевидно, що в підрахунок включаються як повні клітини, так і неповні, що у свою чергу призводить до помилкового визначення фрактальної розмірності.

Слайд 9. Усунення недоліку методу клітинкової розмірності

Точний метод визначення фрактальної розмірності

а б

Фрагменти: а – з незаповненими клітинками, б – суть точного методу.

Усунути недолік клітинкового методу визначення фрактальної розмірності можна шляхом визначення дробового значення кількості клітинок. Для цього для кожного стовпчика визначаємо розмах рівнів в ньому і ділимо на розмір клітинки. Очевидно він буде в переважаючій більшості випадків дробовим. Підсумовуючи такі дробові кількості отримаємо загальну кількість клітинок виражених дробовим число (рідше цілим).

Слайд 10. Математична інтерпретація способу усунення цього недоліку

Математична інтерпретація способу усунення цього недоліку

Усунення недоліку здійснюється шляхом визначення для кожного стовпчика з шириною різниці і подальшому діленні її на розмір клітинки

.

Підсумовуючи кількість таких стовпчиків, для даного розміру клітинки

,

тут означає розмір клітинки, – номер стовпчика з даним розміром клітинки, а – кількість стовпчиків.

Слайд 11. Реалізація даного способу засобами табличного процесора Ms Excel

Слайд 12. Результати визначення фрактальної розмірності

Результати визначення фрактальної розмірності № з/п Розмір клітинки Кількість клітинок Розмір клітинки Кількість клітинок 1 2 229 0,693 5,434 2 3 166 1,098 5,112 3 4 116 1,386 4,753 4 5 78 1,609 4,357 5 6 68 1,792 4,219

Саме за такими значеннями і визначають точки для графіку в подвійних логарифмічних координатах. За результатом апроксимації точок отримуємо

точне значення фрактальної розмірності D = 1.1861

Слайд 13. Визначення фрактальної розмірності звичайним і точним методами

Звичайний метод Значення фрактальної розмірності для десяти часових рядів Часові ряди 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Фрактальна розмірність 1,141 1,164 1,105 1,201 1,236 1,125 1,159 1,169 1,157 1,233 Точний метод Значення фрактальної розмірності для десяти часових рядів Часові ряди 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Фрактальна розмірність 1,219 1,299 1,211 1,268 1,33 1,204 1,271 1,241 1,217 1,276

Результати фрактального аналізу різних об’єктів підтверджують, що практично усі природні (фізичні) об’єкти мають значення показника більш або менш симетрично розподілене навколо середнього значення 0.73 з стандартним відхиленням, рівним приблизно 0.09.

Слайд 14. Визначення показника Герста.