2.3.Что такое тензоры деформаций и напряжений? Охарактеризуйте их физически и математически.

При малых деформациях квадратичные члены матрицы деформаций обычно опускают, получая классический тензор деформаций:

Тензор напряжений

Тензор деформаций описывает деформацию тела с кинематической точки зрения, то есть безотносительно причин, породивших ее. Для

рассмотрения этих причин (действующих на тело сил) необходимо определить понятие напряжения как силы, действующей на единицу площади сечения детали. Рассмотрим плоский срез деформируемого тела, проходящий через точку P с нормалью n. Пусть Δf – сила, действующая на маленький участок плоскости ΔA, содержащий точку P. Тогда предел

существует и называется напряжением в точке P вдоль вектора n. Для определения напряжения в произвольном направлении используется тензор напряжений σ, который задает напряжение в произвольном направлении n как tn = σn. Для большинства материалов тензор σ задается симметрической матрицей. Физический смысл тензора напряжений иллюстрируется на примере срезов, параллельных координатным плоскостям (рис. 31).

2.4. Опишите обобщенный закон Гука.

Как известно, динамика движения недеформируемого твердого тела описывается уравнениями Ньютона–Эйлера (основанными на втором законе Ньютона), которые связывают линейное и угловое ускорение тела с действую' щими на него силами посредством массы и тензора инерции. Аналогичную роль в задачах теории упругости играет обобщенный закон Гука. Открытый в XVII веке английским математиком Гуком (Hooke) закон растяжения для тонкого стержня имеет вид F = kΔx, где F – действующая на стержень сила, Δx – величина растяжения, а k – коэффициент упругости. Величину коэффициента упругости можно связать с физическими размерами стержня следующим образом: k = ES/L, где S – площадь поперечного сечения стержня, L – его длина, а E – модуль Юнга. С введением понятий относительного удлинения ε = Δx/L и нормального напряжения в поперечном сечении σ = F/S закон Гука принимает вид σ = Eε. Как мы уже

знаем, в общем случае напряжение σ и деформация ε определяются симметрическими тензорами размера 3×3. Тем не менее, между этими тензорными сущностями действует то же линейное соотношение, что и между скалярными, называемое обобщенным законом Гука:

2.5. Какие свойства материала определяются модулем Юнга и коэффициентом Пуассона?

Как известно, динамика движения недеформируемого твердого тела описывается уравнениями Ньютона–Эйлера (основанными на втором законе Ньютона), которые связывают линейное и угловое ускорение тела с действую' щими на него силами посредством массы и тензора инерции. Аналогичную роль в задачах теории упругости играет обобщенный закон Гука. Открытый в XVII веке английским математиком Гуком (Hooke) закон растяжения для тонкого стержня имеет вид F = kΔx, где F – действующая на стержень сила, Δx – величина растяжения, а k – коэффициент упругости. Величину коэффициента упругости можно связать с физическими размерами стержня следующим образом: k = ES/L, где S – площадь поперечного сечения стержня, L – его длина, а E – модуль Юнга. С введением понятий относительного удлинения ε = Δx/L и нормального напряжения в поперечном сечении σ = F/S закон Гука принимает вид σ = Eε. Как мы уже

знаем, в общем случае напряжение σ и деформация ε определяются симметрическими тензорами размера 3×3. Тем не менее, между этими тензорными сущностями действует то же линейное соотношение, что и между скалярными, называемое обобщенным законом Гука: